Можно ли закрыть карту tinkoff black и открыть новую по приглашению друга с бесплатным обслуживанием?

Вряд ли. Скорее всего, в условиях акции написано "для клиентов, ранее не имевших счетов в нашем банке"

а в чем проблема в самом приложении в чате написать? Поди не расстреляют за это

Открой еще одну, а старую потом закроешь.

Думаю, нет.
Эта акция, по идее, действует только на новых клиентов.
Закрыв карту, клиент окончательно не перестаёт быть клиентом банка. Из базы банка клиенты, скорей всего, не удаляются.