Правильно ли я извлек квадратный корень из вещественной матрицы (в вещественных матрицах)?
Вот есть такая матрица A, текст для копирования в https://www.wolframalpha.com :
{{-17, 144, 16, 18, 1, 0}, {-144, -17, -18, 16, 0, 1}, {0, 0, -17, 144, 16, 18}, {0, 0, -144, -17, -18, 16}, {0, 0, 0, 0, -17, 144}, {0, 0, 0, 0, -144, -17}}
Из нее нужно в вещественных матрицах извлечь квадратный корень. Она не нильпотентна, что радует.
Я ее на калькуляторе привел к жордановой форме, далее мы в каждой клекте выбираем по лямбде, возводим лямбду с степень 1/2 и выбираем одно из двух комплексных значений корня так, чтобы получилась жорданова матрица, которую можно перестановкой клеток перевести в комплексно-сопряженную себе. И потом мы полученную жорданову форму овеществляем вот так (скопируйте в Вольфрам и пролистайте до ЖНФ):
{{8, 9, 1, 0, 0, 0}, {-9, 8, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 8, 9, 1, 0}, {0, 0, -9, 8, 0, 1}, {0, 0, 0, 0, 8, 9}, {0, 0, 0, 0, -9, 8}}
Тут два варианта возможно, я выбрал один, второй потом вернется в самом конце.
Обозначим эту матрицу B
И всевозможные значения корня из A нужно искать только среди вещественно-подобных B и -B. Кроме B и -B как раз ничего и не подойдет, вроде (B можнно проверить тем же калькулятором), или я какие-то значения корня упустил?
Если бы оказалось, что B^2 != A, то как среди подобных B найти корень из A, наверное, понятно - приведением двух к Жордану находим C: С^(-1) * B^2 * C = A и тогда С^(-1) * B * C - это одно из значений корня из A.
Вы шаманите с теорией групп, ожидая при этом, что учителя математики что-то поймут)
Из матрицы вам извлечь корень сложно, поэтому вы извлекаете корень из класса сопряженности этой матрицы в комплексной полной линейной группе. Класс сопряженности идентифицируете жордановой формой.
При этом, используете критерий непустоты пересечения такого класса сопряженности с вещественной подгруппой - жорданова форма (с точностью до перестановки клеток) должна быть симметрична относительно комплексного сопряжения.
И еще используете тот факт, что централизатор матрицы в Gl(C^n) действует инвариантно на ее корневых подпространствах, чтобы показать, что корень из матрицы в данном случае содержит ровно два значения, по одному на каждый класс сопряженности.
И еще молча используете тот факт, что натуральная степень жордановой клетки, не являющейся нильпотентной, подобна жордановой клетке.
Вроде бы, корень извлечен правильно.
Я не понял 90% текста, а Коржо спит, кроме него тут самостоятельно никто не решит
как определена операция возведения матрицы в дробную степень?