Зачем нужны мнимые числа?

Для мнимых вычислений

Возвести в квадрат и получить реальное число, хоть и отрицательное

Да здравствует мнимая единичка !
i

удобные вычисления некоторых физических процессов в комплексных числах. Например, одновременно считается и частота и фаза сигнала.
Есть еще более интересные числа - кватернионы. Там в основе три разных мнимых единицы, в результате такое число, например, очень облегчает развороты в пространстве для навигации.

Комплексные?
В школе - для тригонометрии и рассчетов сетей синусоидального тока.
Например, в выражении (cos phi + i*sin phi)^2023 раскрываешь скобочки через бином Ньютона, получаешь тождества для косинуса и синуса 2023-кратного угла.

В математике в целом для комплексных чисел многие утверждения формулируются весьма элегантно, что сказать о действительных. Благодаря этому комплексные числа используются в промежуточных рассчетах при решеним многих очень прикладных задач - при вычислении несобственных интегралов, нахождении радиусов сходимости степенных рядов, решении рекуррентных/дифференциальных/операторных уравнений и т.п.

Когда комплексные числа придумали, обо всем этом еще не знали. Комплексные числа возникли естественным образом при решении кубических уравнений с действительными коэффициентами - пока у тебя различных действительных корней не более двух штук, формулы Кардано тебя в комплексные числа не уводят. Когда же их три штуки, формулы Кардано в промежуточных рассчетах уводят тебя в комплексные числа, но мнимые части в конечном счете все равно обнуляются.

Лучший ответ
Alex, 4 года назад
Оракул
для того, чтобы пользоваться обычной арифметикой в областях, где иначе понадобилось бы интегрировать и дифференцировать

Давай я тебе лучше покажу один пример того, что с ними можно сделать.

Можно вообще от тригонометрии избавиться, потому что
cos phi = (e^(i*phi) + e^(-i*phi))/2
sin phi = (e^(i*phi) - e^(-i*phi))/(2i)

Здесь не какое-то искусственное определение комплексной экспоненты используется, а очень естественное - берешь для обычной действительной экспоненты степенной ряд и подсовываешь в него комплексное число.
Это же прикольно - всю тригонометрию с возу, кобыле легче.