Задание непонятное, при стартовых значениях - все нули, все элементы последовательности получаются нулями. Какой смысл что-то считать, все нули.
import java.util.Scanner;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int i = n;
double u1 = 0, u2 = 0, v1 = 0, v2 = 0, u = 0, v = 0;
while (i > 2) {
u = (u2 - u1 * v2 - v1) / (1 + u2 * u2 + v2 * v2);
v = (u2 - v2) / (Math.abs(u1 + v2) + 2);
u1 = u2;
u2 = u;
v1 = v2;
v2 = v;
i--;
}
System.out.println("u(" + n + ") = " + u + "; v(" + n + ") = " + v);
}
}