Почему в одном браузере открывается локальный сайт правильно, а в другом нет?

Зависит от ядра браузера, например интернет Эксплорер способен только открывать текстовые файлы, так же как и хром

движки можеь. разные у браузеров.. или подвеска

Там же вроде в браузере dns кэш хранится. Ты не написал как открываешь сайт, если по dns то это так себе идея, по ip немного лучше, но если он один. Почисти кэш боаузера или мне вот нравится еще просто в режиме инкогнито

DNS проверь, сбрось кэш в браузере