Для решения этой задачи необходимо сначала найти точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить границы интегрирования. Затем можно использовать формулу для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох.
- Найдем точки пересечения параболы и прямой: y = 2x^2 y = -2x + 4 2x^2 = -2x + 4 2x^2 + 2x - 4 = 0 x^2 + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0
Точки пересечения: x = -2, x = 1
- Определим границы интегрирования. Фигура ограничена прямыми x = -1 и x = 1 (по первому квадранту). Для каждого значений x в интервале [-1, 1], значение y ограничено параболой и прямой:
y = -2x + 4 (для y >= -2x + 4) y = 2x^2 (для y <= 2x^2)
- Запишем формулу для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох:
V = ∫[a,b]πy^2dx
где a и b - границы интегрирования.
- Подставим границы интегрирования и найдем объем:
V = ∫[-1,1]π(2x^2)^2 - π(-2x + 4)^2 dx
V = π ∫[-1,1] 4x^4 - 16x^3 + 16x^2 dx
V = π [(4/5)x^5 - 4x^4 + (16/3)x^3] from -1 to 1
V = π [(4/5) - 4 + (16/3)] - [(4/5) + 4 - (16/3)]
V = π [(56/15) - (-56/15)]
V = (112/15)π
Ответ: объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, равен (112/15)π.
y=2x^2;
y=-2x+4