Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Помогите решить интегралы

Павел Борзов Ученик (112), закрыт 1 год назад
1)int(2x^2arcctg(x/3)dx/(x√(16+2lnx)))
2)int(tg^4(5x-1))
3)int(cos4xe^2xdx)
4)int(dx/(5+4sin2x)
5)int(xarctgx^2dx)
Лучший ответ
Антон Михайлов Гуру (2623) 1 год назад
1) Разложим арккотангенс в интеграле на тангенс и найдем замену:
int(2x^2arcctg(x/3)dx/(x√(16+2lnx))) = 2∫(x^2/√(16+2lnx)) * arctan(3/x) dx
Пусть u = ln x, тогда x = e^u и dx = e^u du. Заменим переменную и приведем подобные:
2∫(e^2u / √(16+2u)) * arctan(3/e^u) e^u du = 2∫(e^3u / √(16e^2u+6e^u+9)) * arctan(3e^-u) du
Теперь сделаем замену v = 3e^-u, тогда dv/dx = -3e^-u, и получим:
-6∫(1 / √(16v^2-18v+9)) * arctan(v) dv = -6∫(1 / √[(4v-3)^2+3]) * arctan(v) dv
Для решения этого интеграла потребуется применить формулу замены переменной вида t = (4v-3)/√3. Тогда:
-6∫(√3 / √(t^2+1)) * arctan((√3/4)t+3/4) dt
Далее можно применить формулу интеграла ∫(1 / √(t^2+a^2)) dt = ln|t+√(t^2+a^2)| + C.
Таким образом, окончательное решение имеет вид:
-6(ln|√(3)(4v-3)+√(16v^2-18v+9)| + √3arctan((√3/4)(4v-3)+3/4)) + C
= -6(ln|3x-√(16x^2-18x+9)| + √3arctan(3/(x-3/4))) + C

2) Заменим tg^2(x) на sec^2(x) - 1, а затем воспользуемся формулой интегрирования степенной функции:
int(tg^4(5x-1)) = int((tg^2(5x-1))^2) = int((sec^2(5x-1)-1)^2)
= int(sec^4(5x-1) - 2sec^2(5x-1) + 1)
= (1/3)tan(5x-1) - (2/3)tan^3(5x-1) + x + C

3) Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.
int(cos4xe^2dx) = (1/2) int((2cos^2(2xe^2) - 1)dx)
Теперь сделаем замену переменной u = 2xe^2, тогда du/dx = 2e^2, dx = du/(2e^2). Подставим в интеграл:
(1/2) int((2cos^2(u) - 1)du/(2e^2)) = (1/4e^2) int(2cos^2(u) - 1)du
= (1/4e^2) int(cos(2u) + 1)du
Используем формулу интегрирования для косинуса и получим:
= (1/8e^2) (sin(2u)/2 + u) + C
= (1/8e^2) (sin(4xe^2)/2 + 2xe^2) + C

4) Разложим знаменатель дроби на сумму синуса и косинуса: 5 + 4sin(2x) = 5 + 4sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) - 4sin^2(x) = 9cos^2(x) + 4sin(x)cos(x) + 5. Теперь сделаем замену переменной u = tan(x/2), тогда sin(x) = 2u/(1+u^2), cos(x) = (1-u^2)/(1+u^2), dx = 2du/(1+u^2). Подставим в интеграл:
int(dx/(5+4sin(2x))) = int(2du/((9-4u^2) + 5(1+u^2)))
= int(2du/(4u^2 + 14)) = (1/7) int(du/(u^2 + (7/2)^2))
Сделаем замену t = u/(7/2), тогда du = (7/2)dt и получим:
(2/7) int(dt/(t^2 + 1)) = (2/7) arctan(t) + C
= (2/7) arctan(u/(7/2)) + C
= (2/7) arctan(tan(x/2)/(7/2)) + C

5) Воспользуемся интегрированием по частям:
int(xarctan(x^2)dx) = x^2 * arctan(x^2) - int((2x^2/(1+x^4)) * x^2 dx)
= x^2 * arctan(x^2) - 2 int((x^2/(1+x^4)) dx)
Сделаем замену u = x^2, тогда du/dx = 2x, dx = du/(2x). Подставим в интеграл:
= x^2 * arctan(x^2) - int((1/u^2) * du/(1 + (1/u)^2))
= x^2 * arctan(x^2) - int((du/u^2) * (1 + u^(-2)))
= x^2 * arctan(x^2) + int(du/u^2) - int(du/u^4)
= x^2 * arctan(x^2) - 1/u + (1/3u^3) + C
= x^2 * arctan(x^2) - 1/x^2 + (1/3x^6) + C
Павел БорзовУченик (112) 1 год назад
спасибо большое!
Остальные ответы
Андрей Ключкин Мастер (1212) 1 год назад
1) Для решения интеграла заменим переменную x на u = arctg(x/3). Тогда dx = 3du/(1 + (x/3)^2) и получим:

int(2x^2arcctg(x/3)dx/(x√(16+2lnx))) = int(2u*tg(u)^2du/(tg(u)√(16 + 2ln(3tg(u)))) = 2/3 int(tg(u)^(3/2)/(tg(u)^2 + 16/3 + ln(3)/2)^(1/2) du)

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой v = tg(u)^(3/2), тогда dv = (3/2)tg(u)^(1/2) sec(u)^2 du. Получим:

2/3 int(tg(u)^(3/2)/(tg(u)^2 + 16/3 + ln(3)/2)^(1/2) du) = (4/9) int(1/(v^2 + (16/3 + ln(3)/2)^(1/3)) dv) = (-2/3) ln|v - (16/3 + ln(3)/2)^(1/3)| + C

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

int(2x^2arcctg(x/3)dx/(x√(16+2lnx))) = (-2/3) ln|tg(u)^(3/2) - (16/3 + ln(3)/2)^(1/3)| + C = (-2/3) ln|3x^(3/2) - (16/3 + ln(3)/2)^(1/3)x + 9√3| + C

2) Заметим, что tg^4(x) = (tg^2(x))^2 = (sec^2(x) - 1)^2. Проведем замену u = 5x - 1, тогда du = 5dx, и получим интеграл вида:

int((sec^2(u) - 1)^2 du) = int(sec^4(u) - 2sec^2(u) + 1 du) = (1/3)tan(u)^3 - 2tan(u) + u + C

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

int(tg^4(5x - 1)dx) = (1/15)tan(5x - 1)^3 - 2tan(5x - 1)/5 + x + C

3) Применив формулу Эйлера, получим:

cos4x = (e^(ix) + e^(-ix))^4/16 = (1/16) sum_(k=0)^4 C_4^k e^(i(2k-4)x)

int(cos4xe^2x dx) = (1/16) sum_(k=0)^4 C_4^k int(e^(i(2k-2)x + 2x) dx) = (1/16) sum_(k=0)^4 C_4^k 1/(2 - i(2k-2)) e^(i(2k-2)x + 2x) + C

4) Проведем замену u = 2x, тогда du = 2dx, и получим интеграл вида:

int(dx/(5 + 4sin^2(u/2))) = (1/2) int(du/(5 + 2cos(u))) = (-1/2) ln|5 + 2cos(u)| + C

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

int(dx/(5 + 4sin^2(2x))) = (-1/2) ln|5 + 2cos(2x)| + C

5) Применив интегрирование по частям и затем замену u = arctg(x^2), получаем:

int(xarctgx^2dx) = (1/2) x^2(arctg(x^2))^2 - (1/2) int(arctg(x^2) dx) = (1/2) x^2(arctg(x^2))^2 - (1/4) ln(1 + x^4) + C
Похожие вопросы