Вариант 2 На выполнение всех заданий отводится 100 минут. Ко всем задачам пишите обоснованные решения
1) Алюминиевая бронза – сплав алюминия, железа, меди и никеля. Круговая диаграмма показывает состав алюминиевой бронзы
(массовые доли элементов).
а) (1 балл, укажите только ответ) Вещество, имеющее в сплаве
наибольшую массовую долю, называется основой сплава. Какое
вещество является основой алюминиевой бронзы?
б) (2 балла, укажите только ответ) В бланке ответов укажите
номера (номер) верных утверждений:
1) Никель и железо имеют приблизительно одинаковые массовые доли в этом сплаве;
2) Алюминий и железо вместе составляют более четверти массы сплава;
3) В тонне алюминиевой бронзы не более 800 кг меди.
2) (3 балла) На предприятии ровно 50 сотрудников. С 1-го июня одному из сотрудников повысили зарплату на 20 тыс. руб., а двое
Итоговая диагностика 7 кл. Проект "Математическая вертикаль" 14.05.2019г
других уволились. До 1-го июня средняя зарплата на предприятии
равнялась 74 тыс. руб., а средняя зарплата двоих уволившихся сотрудников равнялась 60 тыс. руб. Найдите среднюю зарплату на
предприятии после 1-го июня.
3) Изучая статистику, семиклассник провёл эксперимент: он 100 раз
подбросил правильный игральный кубик и записал, сколько очков
выпадало при каждом броске. Результаты показаны на гистограмме.
а) (1 балл, укажите только ответ) Найдите частоту события
«выпало четыре очка»;
б) (2 балла) Найдите медиану выпавших очков. Объясните Ваше
решение.
Блок Геометрия
4) (3 балла, укажите только ответ) В каждом пункте укажите, верно или неверно утверждение из списка (в бланке ответов запишите
В (если верно), Н (если неверно)):
а) Любой треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника;
б) Если все углы четырехугольника равны, то равны и его диагонали;
в) Если точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой l, то прямая AB обязательно параллельна этой прямой l;
г) Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный;
Итоговая диагностика 7 кл. Проект "Математическая вертикаль" 14.05.2019г
д) Отрезок, соединяющий вершину квадрата с серединой его противоположной стороны, образует с этой стороной угол 60◦
.
5) (3 балла) В квадрате ABCD на стороне BC взяли точку K, а на
стороне CD - точку M. Оказалось, что угол MAK равен 40◦
, а угол
AKM равен 70◦
. Найдите угол AMD.
6) (4 балла) Точка N – середина стороны CD прямоугольника ABCD.
На стороне BC взяли такую точку M, что угол ANM равен 90◦
.
Найдите длину отрезка AM, если BM = 6, CM = 2.
Блок Алгебра
7) (1 балл) Решите уравнение: 3−x
3 −
x+1
2 =
5x
4
.
8) (1 балл) Упростите выражение:
(−2a
2
)
4
· (−ab2
)
3
8 · (a
3b)
3
и найдите его значение при a =
7
8
, b = −1
1
7
.
9) (2 балла) Разложите на неразложимые множители, то есть так, чтобы дальнейшее разложение было невозможно:
а) (1 балл) x
3 + 6x
2 − 16x − 96;
б) (1 балл) 9 + 25x
2 − 16y
2 − 30x.
10) (4 балла):
а) (1 балл) Постройте прямую c, заданную формулой 5x − 2y = 8.
Отметьте на координатной плоскости координаты точек пересечения этой прямой с осями координат.
б) (2 балла) Постройте и задайте уравнением прямую l, параллельную прямой c и проходящую через точку P(1; 1). В ответ запишите уравнение прямой l.
в) (1 балл) При каких значениях a прямая y = ax − 4 и прямая c
(5x − 2y = 8) будут иметь больше одной точки пересечения?
11) (3 балла, в бланке ответов укажите обе скорости) Велосипедист
за 2 часа и автомобилист за час проехали 140 км. Этот же велосипедист за 9 часов проезжает на 45 км больше, чем автомобилист за
2 часа. Найдите скорости велосипедиста и автомобилиста.
1) а) Ответ: металл с наибольшей массовой долей в сплаве является основой сплава. Исходя из круговой диаграммы, алюминий имеет наибольшую массовую долю в сплаве, составляющей около 80%, поэтому алюминий является основой алюминиевой бронзы.
б) Ответ: верными утверждениями являются 1 и 2.
Никель и железо имеют приблизительно одинаковые массовые доли в этом сплаве. Из круговой диаграммы можно видеть, что массовая доля никеля составляет примерно 9%, а массовая доля железа - примерно 8%, что действительно близко к одинаковой массовой доле.
Алюминий и железо вместе составляют более четверти массы сплава. Из круговой диаграммы можно вычислить, что массовая доля алюминия составляет около 80%, а массовая доля железа - примерно 8%, что в сумме составляет более четверти массы сплава (80% + 8% = 88%).
В тонне алюминиевой бронзы не более 800 кг меди. Информации о максимально допустимом количестве меди в тонне алюминиевой бронзы в исходной задаче нет.
2) Пусть x - средняя зарплата на предприятии после 1-го июня. Тогда до повышения зарплаты и увольнения средняя зарплата на предприятии была равна 74 тыс. руб.
Тогда суммарная зарплата всех 50 сотрудников до повышения и увольнения равна:
50 * 74 тыс. руб. = 3 700 000 руб.
После повышения зарплаты одного из сотрудников, его зарплата стала на 20 тыс. руб. выше. Пусть его зарплата была равна y, тогда:
y + (49 * 74 тыс. руб.) = x * 50
y + 3 626 000 руб. = 50x
Два других сотрудника были уволены, их средняя зарплата равнялась 60 тыс. руб. Суммарная зарплата уволенных сотрудников:
2 * 60 тыс. руб. = 120 тыс. руб.
Тогда после повышения зарплаты и увольнения, суммарная зарплата всех сотрудников на предприятии равна:
y + (48 * x) + 120 тыс. руб.
Так как суммарная зарплата до повышения и увольнения равна суммарной зарплате после повышения и увольнения, мы можем составить уравнение:
y + 3 626 000 руб. = y + (48 * x) + 120 тыс. руб.
Откуда получаем:
48x = 3 506 000 руб.
x = 72 958,33 руб.
Таким образом, средняя зарплата на предприятии после 1-го июня составляет около 72 958,33 руб.
3) а) Ответ: Частота события «выпало четыре очка» равна 14. Для этого нужно найти высоту столбца на гистограмме, соответствующего 4 очкам, и разделить эту высоту на общее число бросков (100).
б) Для того чтобы найти медиану выпавших очков, необходимо найти значение, которое делит распределение на две равные части - 50 бросков, в которых выпало меньше или равно этому значению, и 50 бросков, в которых выпало больше или равно этому значению.
Из гистограммы можно видеть, что наиболее часто выпадающие значения - 3 и 5, каждое из них встречается 28 раз. Также 2 и 6 выпадают достаточно часто, каждое из них встречается 20 раз. Значения 1 и 7 встречаются реже, по 2 раза.
Мы можем увидеть, что распределение не является симметричным, и максимальная высота на гистограмме соответствует значению 3 и 5. Чтобы найти медиану, мы должны найти среднее значение между двумя значениями, которые делят распределение на две равные части.
Таким образом, медиана выпавших очков будет находиться между значениями 3 и 5. Чтобы найти точное значение медианы, мы можем применить формулу для интерполяции:
медиана = L + ((n/2 - F) / f) * w,
где L - нижнее значение интервала, содержащего медиану (значение 3), n - общее количество бросков (100), F - сумма частот значений, меньших чем L (частота 2,3; 2+28=30), f - частота значения, содержащего медиану (частота 5), w - ширина интервала между значениями на гистограмме (единица).
Подставляя значения, получаем:
медиана = 3 + ((50 - 30) / 28) * 1 = 3.714
Таким образом, медиана выпавших очков составляет примерно 3.714.