объясните, пожалуйсьа, на пальцах, что такое мнтеграли для чго она на примерах спасибо

Попробую, хотя без рисунка это тяжело.. .

Во-первых, интегралов два - определенный и неопределенный (первообразная) , можно начать с неопределенного интеграла. Это значит, что если у нас есть функция f(x), то другая функция
g(x) будет ее интегралом, если производная от g(x) будет равняться нашей функции f(x). Т. е. если g ' (x) = f (x), значит g(x) - неопределенный интеграл от f(x). То есть неопределенный интеграл это функция. И нахождение такого интеграла это операция обратная к нахожднеию производной.
Это как есть сложение, обратное операция для него - вычитание,
для умножения - деление, для возведения в степень - извлечение корня, а для производный - неопределенный интеграл.

Например, интеграл от f(x) = x будет функция x*x / 2 + c, где с - любое число. Так как производная от x*x / 2 + c = x

Определенный интеграл это уже не функция, а число. Конечно связан с неопределенным интегралом, чтобы вычислить определенный интеграл на каком-то отрезке (то есть, например, от нуля до единицы) , то можно найти неопределенный интеграл, посчитать какое значение он принимает в 1, потом в 0, и потом вычесть одно из другого, полученное число и будет определенным интегралом на отрезке от 0 до 1.
Например, интеграл от f(x) = x на отрезке от 2 до 5, равен 5 * 5 / 2 - 2 * 2 / 2 = 10,5

В принципе, можно больше ничего и не знать про интегралы, чтобы решать задачи.
Но на самом деле, определенный интеграл имеет самостоятельный смысл и началось-то как раз с него, а не с неопределенного.

Сам значок интеграла это растянутая S - от слова сумма, интеграл и есть сумма, осталось разобраться сумма чего.
В определении интеграла говориться, что это предел интегральных сумм.
Тут, конечно, желательно нарисовать картинку, чтобы объяснить дальше.. .

Ну ладно, вот допустим есть какой-то график функции, расмотрим его, допустим, от 0 до 1. Как примерно подсчитать его площадь? Умножить ширину на высоту, ширина равно 1. А высота непонятно чему, она меняется постоянно (это значение f(x)). Но если взять любую точку, наприме, точку посередине - х = 0,5, и посмотреть высоту в этой точке, т. е. f(0.5), то можно вычислить площадь прямоугольника (она равно 1 * f(0.5)), который очень приблизительно будет соотвествовать площади под графиком функции.
А теперь давайте сначала разделим отрезок от 0 до 1 пополам, и подсчитаем таким же способом примерную площадь под графиком на каждой половнике, а потом сложим - сумма будет уже немного ближе к искомой. И так далее - чем на большее количество частей мы разбиваем наш отрезок и вычисляем площадь под графиком на каждой части, чем точнее результат. Причем f(x) можно вычислять в любой точке полученных маленьких отрезков, например, в начале, или в конце. Так вот такая сумма площадей этих отрезков называется интегральной суммой.
Если разбить отрезок на бесконечное число бесконечно маленьких отрезков и подсчитать таким образом площадь каждого маленького отрезка, а потом просуммируем их всех, то получим как раз опреленный интеграл, который будет равен точной площади под графиком функции.

То есть геометрически интеграл это площадь под графиком, которая вычисляется как сумма площадей узеньких прямоугольничков которые примерно совпадают с нашим графиком.
Алгебраически площадь такого прямоугольничка равна f(x) * 1 / n. Где х - какая-то точка на этом маленьком отрезке (обычно или начало отрезка или его конец) , а n - общее количество одинаковых по ширине прямоугольничков. Если мы рассматриваем интеграл не на отрезке от 0 до 1, а на другом, например, от a до b то получится f(x) * (b - a) / n.
А предел при n стремящемся к бесконечности суммы таких отрезков и называется интегралом.
Но для вычислений интеграла этим определением почти никогда не пользуются, а используют его связь с неопределенным интегралом. Для нахождения которого существуют определенные приемы.

А применяются интегралы везде требуется решить дифферинциальные уравнения, например в физике, собственно для этого Ньютон и придумал производные и интегралы.