Принятие решений в условиях неопределенности

Question

Каким способом решается данная задача? Через поиск доходов(в основном, максимин) по 4-м критериям или же потерь(в основном, минимакс)?
 
Задача
Предприятие готовится к переходу на новые виды продукции, при этом возможны четыре решения Р1, Р2, Р3, Р4, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска или его сочетание. Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки, которая в значительной степени не определена. 
Пусть варианты обстановки характеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: O1, O2, O3. Выигрыш, характеризующий относительную величину результата (доходы, прибыль и т.п.), соответствующий каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О, представленный в таблице:  
 
Варианты           Условия обстановки, Oj  
решений, Рi  
                             О1       O2      O3  
Р1                        0,25    0,35    0,40  
Р2                        0,75    0,20    0,30  
Р3                        0,35    0,82    0,10  
Р4                        0,80    0,20    0,35  
 
Необходимо найти такую стратегию (линию поведения) – решение Р, – по сравнению с другими  
является наиболее выгодной (целесообразной) с использованием критериев Лапласа, Вальда, Севиджа, Гурвица (α = 0; 0.25; 0.5; 0.75; 1).

Chromatic Scale · Answer

Для решения задачи принятия решений в условиях неопределенности используем указанные критерии: Лапласа, Вальда, Севиджа и Гурвица. Проведем анализ согласно каждому критерию: 
 
Критерий Лапласа (равновероятностный критерий) предполагает, что все обстановки равновероятны. Рассчитываем средние значения выигрышей для каждого решения: 
P1: (0,25 + 0,35 + 0,40) / 3 = 0,333 
P2: (0,75 + 0,20 + 0,30) / 3 = 0,417 
P3: (0,35 + 0,82 + 0,10) / 3 = 0,423 
P4: (0,80 + 0,20 + 0,35) / 3 = 0,450 
 
По критерию Лапласа наиболее выгодным решением является Р4. 
 
Критерий Вальда (максимин) основан на выборе наибольшего из минимальных выигрышей: 
P1: min(0,25; 0,35; 0,40) = 0,25 
P2: min(0,75; 0,20; 0,30) = 0,20 
P3: min(0,35; 0,82; 0,10) = 0,10 
P4: min(0,80; 0,20; 0,35) = 0,20 
 
По критерию Вальда наиболее выгодным решением является Р1. 
 
Критерий Севиджа (минимаксный критерий потерь) подразумевает выбор наименьших из максимальных потерь: 
Потери: 
O1 O2 O3 
Р1 0,55 0,47 0,60 
Р2 0,05 0,62 0,70 
Р3 0,45 0,00 0,90 
Р4 0,00 0,62 0,65 
 
P1: max(0,55; 0,47; 0,60) = 0,60 
P2: max(0,05; 0,62; 0,70) = 0,70 
P3: max(0,45; 0,00; 0,90) = 0,90 
P4: max(0,00; 0,62; 0,65) = 0,65 
 
По критерию Севиджа наиболее выгодным решением является Р1. 
 
Критерий Гурвица использует коэффициент α для определения оптимального решения. Рассчитываем значения критерия Гурвица для каждого решения при разных значениях α: 
 
α = 0 (соответствует критерию Вальда): 
P1: 0 * 0,25 + (1 - 0) * 0,40 = 0,40 
P2: 0 * 0,75 + (1 - 0) * 0,30 = 0,30 
P3: 0 * 0,35 + (1 - 0) * 0,10 = 0,10 
P4: 0 * 0,80 + (1 - 0) * 0,35 = 0,35 
 
α = 0,25: 
P1: 0,25 * 0,25 + (1 - 0,25) * 0,40 = 0,37 
P2: 0,25 * 0,75 + (1 - 0,25) * 0,30 = 0,41 
P3: 0,25 * 0,35 + (1 - 0,25) * 0,10 = 0,16 
P4: 0,25 * 0,80 + (1 - 0,25) * 0,35 = 0,47 
 
α = 0,5 (соответствует критерию Лапласа): 
P1: 0,5 * 0,25 + (1 - 0,5) * 0,40 = 0,33 
P2: 0,5 * 0,75 + (1 - 0,5) * 0,30 = 0,53 
P3: 0,5 * 0,35 + (1 - 0,5) * 0,10 = 0,23 
P4: 0,5 * 0,80 + (1 - 0,5) * 0,35 = 0,58 
 
α = 0,75: 
P1: 0,75 * 0,25 + (1 - 0,75) * 0,40 = 0,30 
P2: 0,75 * 0,75 + (1 - 0,75) * 0,30 = 0,64 
P3: 0,75 * 0,35 + (1 - 0,75) * 0,10 = 0,29 
P4: 0,75 * 0,80 + (1 - 0,75) * 0,35 = 0,69 
 
α = 1 (соответствует критерию максимакс): 
P1: 1 * 0,25 + (1 - 1) * 0,40 = 0,25 
P2: 1 * 0,75 + (1 - 1) * 0,30 = 0,75 
P3: 1 * 0,35 + (1 - 1) * 0,10 = 0,35 
P4: 1 * 0,80 + (1 - 
0,35 = 0,80 
Теперь выберем наиболее выгодные решения для каждого значения α: 
 
α = 0: Р1 (0,40) 
α = 0,25: Р4 (0,47) 
α = 0,5: Р4 (0,58) 
α = 0,75: Р4 (0,69) 
α = 1: Р4 (0,80) 
 
При большинстве значений α критерия Гурвица наиболее выгодным решением является Р4. 
 
Таким образом, исходя из результатов анализа по разным критериям, можно предположить, что наиболее выгодным (целесообразным) решением для данной задачи является Р4. Однако стоит отметить, что окончательное решение зависит от предпочтений принимающего решение лица и его оценки степени неопределенности и риска.