Реально ли подготовиться к профильной математике за пол года?

Вполне реально. Если эти полгода заниматься, а не видеть в интернете задавая глупые вопросы и не играть в игрушки.

Если это время действительно хорошо готовиться не делая «отдыхи» 5 дней в неделю, то да

Зависит от твоих теперешних знаний. Если на хорошие баллы - то без репетитора вряд ли. Например, я, круглый отличник все годы обучения в школе, при поступлении в МГУ им.М.В.Ломоносова готовился к вступительному экзамену по математике с репетитором с мехмата МГУ (сам я поступал не на мехмат, но репетитор был оттуда). Пятерок на экзамене было 42 на полторы тысячи поступавших. Одна из них - моя. И без репетитора я бы вряд ли даже трояк получил...
Знаешь, сколько мы решали заданий? Вот помню, проходили как-то тему. Он задачник берет, открывает эту тему, и говорит, вот первые СОРОК заданий сделайте к следующему занятию (раз в неделю по 4 академических). Потом чуть подумал, и говорит, нет, пожалуй, не сорок, а шестьдесят... А потом еще чуть подумал и добавил, а, впрочем, решите все. Их тут только ДЕВЯНОСТО ДВА. Девяносто два - НА НЕДЕЛЮ. А задачничек-то Дорофеев, Потапов и Розов, "Пособие по математике для поступающих в ВУЗы", можешь найти в интернете. Если сможешь из него выбрать и решить хотя бы ПАРОЧКУ САМЫХ ПРОСТЫХ заданий, то считай, что математику ты школьную на "отлично" знаешь... Это тебе не поганый Сканави, на которого сейчас чуть ли не молятся, а мы этого Сканави и в руки брезговали брать... Это был задачник для лохов, которые поступали не в престижные, а во второсортные ВУЗы типа МАДИ, МАТИ, МИИТ, МИСИС, МИХМ, МИЭТ, МИРЭА, МАИ и прочие "сиси"...

Смотря кому. Одному реально. Другой будет бесконечно спрашивать совета и сам ничего не делать.
Вы из каких будете?!

если прям пахать каждый день то реально но голова закипит конкретно