В любом случае итогом станет - возмещение причиненного ущерба. Вопрос в том, каким образом Вы хотите получить эту самую компенсацию.
написать расписку, что он возместит ущерб, а мы не имеем претензий
При данном раскладе стоит здраво подойти к расчёту желаемой суммы и стоит учесть: стоимость лечения и реабилитации, возможную упущенную выгоду/возможности (если Ваша мама собиралась куда-то улетать, то в счёт компенсации Вы вправе включить стоимость билета, ну или поездки куда-то в целом). Однако, сумма должна быть разумной и не исчисляться миллионами.
лучше получить в ГИБДД справку как пострадавшего и обратиться в Яндекс такси
Вариант с бумажной волокитой. Тоже хороший исход событий, но более затратный по времени. Если Вы хотите гарантированно получить результат, то можно получить справку/заключение из травмпункта о наличии травмы, её характере и предположительно способе получения, после чего обратиться к компании-перевозчику (в Вашем случае - Яндекс.Такси) с претензией к некачественному предоставлению услуг по перевозке пассажиров, изложить в претензии обстоятельства произошедшего (не эмоционально) и приложить документы из медицинского учреждения, которые бы подтвердили наличие травмы и характер её получения. В претензии Вы можете указать, что желаете компенсировать затраты на лечение, реабилитацию, а также желаете вернуть стоимость поездки. Это долгий, но гарантированный способ получить денежные средства.
Информацию о написании претензий Вы сможете найти на ресурсах Роспотребнадзора.