Вычислите площадь фигуры ограниченной линией y=2x^2 и y=x+1

Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2 и y=x+1, нужно найти точки их пересечения и определить границы интегрирования.

y=2x^2 и y=x+1 пересекаются в точках, где 2x^2 = x+1:

2x^2 - x - 1 = 0

Решая квадратное уравнение, мы получаем два корня: x = -1/2 и x = 1.

Таким образом, границы интегрирования будут от x = -1/2 до x = 1.

Для нахождения площади фигуры мы можем воспользоваться формулой интеграла от функции f(x) до функции g(x):

A = ∫[a,b] (g(x) - f(x)) dx

где a = -1/2 и b = 1, а f(x) = 2x^2 и g(x) = x+1.

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

A = ∫[-1/2,1] ((x+1) - 2x^2) dx

A = ∫[-1/2,1] (x - 2x^2 + 1) dx

A = [x^2/2 - 2x^3/3 + x] [-1/2,1]

A = (1/2 - 2/3 + 1) - ((1/8 - 1/12 - 1/2))

A = 5/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2 и y=x+1, равна 5/6.