Высшая математика. Теория вероятностей. Значения x и y случайным образом выбирают на отрезке [0;1]

Извините, моя предыдущая попытка решить задачу была некорректна. Давайте попробуем решить её ещё раз. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что 3 * x * y < x^2 + y^2, где x и y случайным образом выбираются на отрезке [0; 1].
Решение:

Перепишем неравенство:
x^2 - 3 * x * y + y^2 > 0
Заметим, что это неравенство можно представить в виде:
(x - y)^2 > 2 * x * y

Теперь нужно определить область значений x и y, при которых данное неравенство выполняется. Для этого найдем кривую, на которой (x - y)^2 = 2 * x * y. Эта кривая будет разделять область на две части: одну, где неравенство выполняется, и другую, где нет.

Перепишем уравнение кривой:
(x - y)^2 = 2 * x * y
x^2 - 2 * x * y + y^2 = 2 * x * y
x^2 + y^2 = 4 * x * y

Разделим обе части уравнения на x * y (при условии, что x и y не равны нулю):
(x^2 + y^2) / (x * y) = 4
(x/y + y/x) = 4

Теперь нужно определить область значений x и y на отрезке [0; 1], где данное неравенство выполняется. Если вы построите график этой кривой, вы увидите, что она имеет форму гиперболы. Область, в которой выполняется неравенство (x - y)^2 > 2 * x * y, ограничена этой гиперболой и осью x = y.

Теперь нужно вычислить площадь области, где выполняется неравенство. Используйте численное интегрирование или геометрический подход для вычисления площади области между кривой и осью x = y на отрезке [0; 1]. Обозначим эту площадь как S.

Вероятность того, что 3 * x * y < x^2 + y^2, равна отношению площади S к площади квадрата с вершинами в точках (0, 0), (1, 0), (1, 1) и (0, 1). Поскольку площадь квадрата равна 1, вероятность равна S.

Чтобы найти площадь S, можно использовать метод Монте-Карло. Сгенерируйте большое количество случайных точек (x, y) на отрезке [0; 1] и проверьте, удовлетворяют ли они условию 3 * x * y < x^2 + y^2. Подсчитайте количество точек, удовлетворяющих условию, и разделите их количество на общее число сгенерированных точек. Это приближение площади S.

Вероятность того, что 3 * x * y < x^2 + y^2, приближенно равна площади S
Это численный подход к решению задачи, и его точность зависит от количества сгенерированных точек. Чем больше точек вы сгенерируете, тем точнее будет ваше приближение к искомой вероятности.

Тебе надо найти области в заданных пределах x [0,1] и у [0,1], в которых гиперболический параболоид
z=x^2+y^2-3*x*y принимает значения больше нуля. То есть, надо найти уравнения сечения этого гиперболоида плоскостью z=0. А затем найти площади областей, сумма этих площадей и будет искомой вероятностью. Приведу тебе иллюстрацию того, что надо сделать:
Голубой цвет - это гиперболический параболоид, синий цвет - плоскость z=0. Ветви гиперболического параболоида слева и справа - это значения z>0. Площадь областей под ветвями параболоида - это и есть искомая вероятность.
Вот тот же вид с другой стороны:
Как видно из рисунка, линии пересечения являются ПРЯМЫМИ, причем симметрично расположенными относительно диагонали квадрата. Тебе надо найти уравнения этих прямых. Дальше все просто - сумма площадей двух треугольников на плоскости z=0 слева и справа даст искомую вероятность. А четырехугольник, включающий центр квадрата - это как раз область, где z<0....