Математика 10-11 класс Контрольная работа по теме: «Показательные и логарифмические функции

А)Для построения графика функции y=3^x-3 нужно провести следующие шаги:
1. Выберем значения для аргумента функции x. Для этого можно составить таблицу значений, выбирая значения x от -5 до 5 с шагом 1:
x | y
-5 | -81-3 = -84
-4 | -27-3 = -30
-3 | -9-3 = -12
-2 | -3-3 = -6
-1 | 3-3 = 0
0 | 1-3 = -2
1 | 3-3 = 0
2 | 9-3 = 6
3 | 27-3 = 24
4 | 81-3 = 78
5 | 243-3 = 240

2. Построим график, используя координатную плоскость. На оси абсцисс будем откладывать значения x, на оси ординат - значения y:

3. Исследуем функцию. Для этого найдём её область определения, точки пересечения с осями координат, асимптоты, экстремумы и промежутки знакопостоянства.
- Область определения функции: любое действительное число
- Точки пересечения графика с осями координат: (0, -2)
- Асимптоты: нет
- Экстремумы: минимум - точка (0, -2)
- Промежутки знакопостоянства: для x < 0 функция y < 0, для x = 0 y = -2, для x > 0 функция y > 0.

Таким образом, график функции y=3^x-3 представляет собой гладкую кривую, растущую монотонно и не имеющую асимптот. Функция имеет точку минимума в точке (0, -2) и промежутки знакопостоянства.

Б) Чтобы построить график функции y=log1/4(x-2), мы можем использовать следующие шаги:

1. Определить область определения функции. В данном случае, x-2 должен быть больше 0, так как мы не можем взять логарифм от отрицательного числа. Таким образом, x>2.

2. Найти точку пересечения функции с осью y. Если x=2, то log1/4(0) = 0. Таким образом, точка пересечения с осью y: (0,0).

3. Найдем асимптоты функции. Так как основание логарифма равно 1/4, то мы должны нарисовать вертикальную асимптоту в точке x=2. Кроме того, для любого положительного значения x, логарифмическая функция будет иметь значение больше 0. Таким образом, нет горизонтальных асимптот.

4. Теперь построим несколько точек для нашей функции, выбрав различные значения x, которые больше 2. Например, можно выбрать x=3,4 и 5. Тогда, y=log1/4(1), y=log1/4(2) и y=log1/4(3) соответственно. Эти точки будут лежать относительно близко к вертикальной асимптоте, так как основание логарифма очень маленькое.

5. Отобразим найденные точки на графике и соединим их плавной кривой, не забывая про вертикальную асимптоту. График должен выглядеть следующим образом:

!image.png

Неравенство для определения области значений нашей функции: y ≤ 0 при x > 2.

Таким образом, мы построили график функции y=log1/4(x-2) с ее областью определения имеющую точку пересечения с осью y (0,0) и вертикальную асимптоту в точке x=2. Функция не имеет горизонтальных асимптот. Область значений функции: y ≤ 0 при x > 2.

1. а) Функция y=(4/π)^x убывает, так как основание (4/π) меньше 1.
2. б) Функция y=log√3-1(x+3) возрастает, так как логарифм возрастает с ростом аргумента и добавление константы не влияет на направление изменения.
3. 3. а) log2 515 < 9
4. б) (1/5)^30 > (1/25)^14
5. в) log1/6 215 < -3
6. г) (√7)^214 < 343^36