Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

В остроугольный треугольник ABC проведена высота CH, угол CAB = 70 градусам найти угол ACH?

astra Знаток (361), на голосовании 9 месяцев назад
остроугольный треугольник ABC проведена высота CH, угол CAB = 70 градусам найти угол ACH?
Помогите пожалуйста, Очень срочно!!!
Голосование за лучший ответ
Иван Иванов Мыслитель (5965) 10 месяцев назад
Угол ACH является острым углом, так как лежит внутри остроугольного треугольника ABC.

Используем свойство прямоугольного треугольника:
в прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой является основанием тангенса.

Таким образом, тангенс угла ACH равен отношению катета CH к гипотенузе AC.

Так как треугольник ABC остроугольный, то угол C равен 180 - 90 - 70 = 20 градусов.

Из свойств остроугольного треугольника следует, что катет CH является катетом прямоугольного треугольника CHB, а гипотенуза AC является гипотенузой этого треугольника.

Поэтому, тангенс угла ACH равен CH/BH, где BH - это проекция гипотенузы на катет CH.

Так как треугольник ABC остроугольный, то и треугольник CHB остроугольный, и угол B равен 90 градусов. Поэтому, проекция BH гипотенузы AC на катет CH равна BC.

Из теоремы косинусов для треугольника ABC получаем:
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(CAB)
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(70°)
BC² = AB² + AC² - AB·AC·cos(110°)

Так как угол B равен 90 градусов, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
AB² + BH² = AH².

Из треугольника CHB следует, что BH = AC·cos(CAB) = AC·cos(70°).

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:
AB² + AC²·cos²(70°) = AH².

Используем теорему косинусов для треугольника ACH:
cos(ACH) = AH/AC.

Отсюда находим:
cos(ACH) = sqrt(AB² + AC²·cos²(70°))/AC.

Из определения тангенса следует, что:
tan(ACH) = sin(ACH)/cos(ACH).

Так как угол ACH является острым, то sin(ACH) > 0, и можно записать:
tan(ACH) = sqrt(AC² - AB²)/sqrt(AB² + AC²·cos²(70°)).

Подставляем известные значения и вычисляем:
(ACH)^2 / sin^2(CAB) = sqrt(1 - sin^2(CAB)) / sin(CAB)

Заметим, что sin(CAB) = sin(70) не является рациональным числом. Однако мы можем использовать тригонометрические свойства для нахождения значения tan(ACH):

tan(ACH) = sin(ACH) / cos(ACH)

cos(ACH) = sin(CAB) / sin(BCH) = sin(70) / sin(BCA)

Таким образом, нам нужно найти значение sin(ACH). Рассмотрим треугольник ACH:

sin(ACH) = CH / AC

Заметим, что треугольники ABC и AHC подобны, так как углы при вершине A общие, и углы при вершинах B и C соответственно равны углам HCA и HAC. Таким образом, мы можем использовать отношение сторон треугольника ABC для нахождения CH:

AC / BC = cos(CAB) = cos(70)

AC / CH = sin(CAB)

CH = AC * sin(CAB) = 1 * sin(70) (мы можем выбрать произвольную единичную длину)

Итак, мы можем вычислить значение sin(ACH):

sin(ACH) = CH / AC = sin(70)

Теперь мы можем вычислить значение tan(ACH):

tan(ACH) = sin(ACH) / cos(ACH) = sin(70) / (sin(70) / sin(BCA)) = sin(BCA)

Таким образом, угол ACH равен:

ACH = arctan(sin(BCA))
Похожие вопросы