В остроугольный треугольник ABC проведена высота CH, угол CAB = 70 градусам найти угол ACH?

180 - 90 - 70 = 20

Угол ACH является острым углом, так как лежит внутри остроугольного треугольника ABC.

Используем свойство прямоугольного треугольника:
в прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой является основанием тангенса.

Таким образом, тангенс угла ACH равен отношению катета CH к гипотенузе AC.

Так как треугольник ABC остроугольный, то угол C равен 180 - 90 - 70 = 20 градусов.

Из свойств остроугольного треугольника следует, что катет CH является катетом прямоугольного треугольника CHB, а гипотенуза AC является гипотенузой этого треугольника.

Поэтому, тангенс угла ACH равен CH/BH, где BH - это проекция гипотенузы на катет CH.

Так как треугольник ABC остроугольный, то и треугольник CHB остроугольный, и угол B равен 90 градусов. Поэтому, проекция BH гипотенузы AC на катет CH равна BC.

Из теоремы косинусов для треугольника ABC получаем:
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(CAB)
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(70°)
BC² = AB² + AC² - AB·AC·cos(110°)

Так как угол B равен 90 градусов, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
AB² + BH² = AH².

Из треугольника CHB следует, что BH = AC·cos(CAB) = AC·cos(70°).

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:
AB² + AC²·cos²(70°) = AH².

Используем теорему косинусов для треугольника ACH:
cos(ACH) = AH/AC.

Отсюда находим:
cos(ACH) = sqrt(AB² + AC²·cos²(70°))/AC.

Из определения тангенса следует, что:
tan(ACH) = sin(ACH)/cos(ACH).

Так как угол ACH является острым, то sin(ACH) > 0, и можно записать:
tan(ACH) = sqrt(AC² - AB²)/sqrt(AB² + AC²·cos²(70°)).

Подставляем известные значения и вычисляем:
(ACH)^2 / sin^2(CAB) = sqrt(1 - sin^2(CAB)) / sin(CAB)

Заметим, что sin(CAB) = sin(70) не является рациональным числом. Однако мы можем использовать тригонометрические свойства для нахождения значения tan(ACH):

tan(ACH) = sin(ACH) / cos(ACH)

cos(ACH) = sin(CAB) / sin(BCH) = sin(70) / sin(BCA)

Таким образом, нам нужно найти значение sin(ACH). Рассмотрим треугольник ACH:

sin(ACH) = CH / AC

Заметим, что треугольники ABC и AHC подобны, так как углы при вершине A общие, и углы при вершинах B и C соответственно равны углам HCA и HAC. Таким образом, мы можем использовать отношение сторон треугольника ABC для нахождения CH:

AC / BC = cos(CAB) = cos(70)

AC / CH = sin(CAB)

CH = AC * sin(CAB) = 1 * sin(70) (мы можем выбрать произвольную единичную длину)

Итак, мы можем вычислить значение sin(ACH):

sin(ACH) = CH / AC = sin(70)

Теперь мы можем вычислить значение tan(ACH):

tan(ACH) = sin(ACH) / cos(ACH) = sin(70) / (sin(70) / sin(BCA)) = sin(BCA)

Таким образом, угол ACH равен:

ACH = arctan(sin(BCA))