Редкая тригонометрическая формула

Question

Редкая тригонометрическая формула

Леонид Зайцев Знаток (353), закрыт 4 недели назад

Может быть, кто-то знает, в какой старинной книге впервые была дана формула 2cos(na) === C(n-0,n-0)*{2cos(a)}^(n-0) -
-- [C(n-2,n-2)+C(n-2,n-1)]*{2cos(a)}^(n-2) +
+ [C(n-4,n-3)+C(n-4,n-2)]*{2cos(a)}^(n-4) -
-- [C(n-6,n-4)+C(n-6,n-3)]*{2cos(a)}^(n-6) +
+ [C(n-8,n-5)+C(n-8,n-4)]*{2cos(a)}^(n-8) -
- etc.etc.etc. (продолжающаяся, пока степени числа 2cos(a) неотрицательны)?
Эта формула тем интересна, что ее не получается отыскать в справочниках.
Она правильная: это устанавливается многократным переходом
2cos[(k+1)a] = 2cos(a)*2cos(ka) - 2cos[(k-1)a],
если начать от
2cos(2a) = C(2,2)*{2cos(a)}^2 - [C(0,0)+C(0,1)]
и 2cos(1a) = C(1,1)*{2cos(a)}, помня C(0,0) = 1.

Answer 1

KrypticVortex Мыслитель (6451) 1 месяц назад

формула, похоже, связана с разложением многочленов Чебышева (Chebyshev polynomials) и комбинаторикой, а именно с биномиальными коэффициентами (C(n,k)).

Леонид ЗайцевЗнаток (353) 1 месяц назад

Коэффициенты в явном виде дает таблица, послушная
тому же простому правилу, что и треугольник Паскаля:
2 01
2 03 001
2 05 004 001
2 07 009 005 001
2 09 016 014 006 001
2 11 025 030 020 007 001
2 13 036 055 050 027 008 001
2 15 049 091 105 077 035 009 001
2 17 064 140 196 182 112 044 010 01
2 19 081 204 336 378 294 156 054 11 01
2 21 100 285 540 714 672 450 210 65 12 01
etc.etc.etc. - ее пологие диагонали
(1 2)(1 3)(1 4 2)(1 5 5)(1 6 9 2)(1 7 14 7)etc.,
читаемые справа налево, помогают находить
выражение для 2cos(na) через 2cos(a) мгновенно:
например, 2cos(13a) = (1 13 65 156 182 91 13) означает
2cos(13a) == 1*{2c(a)}^13 - 13*{2c(a)}^11 + 65*{2c(a)}^9 -
- 156*(2c(a)}^7 + 182*{2c(a)}^5 - 91*{2c(a)}^3 + 13*{2c(a)}.

Answer 2

Оу шет мен гад дэм Гуру (4488) 1 месяц назад

К сожалению, я не смогла найти информацию о том, в какой старинной книге впервые была дана формула 2cos(na) === C(n-0,n-0){2cos(a)}^(n-0) - – [C(n-2,n-2)+C(n-2,n-1)]{2cos(a)}^(n-2) +

[C(n-4,n-3)+C(n-4,n-2)]{2cos(a)}^(n-4) - – [C(n-6,n-4)+C(n-6,n-3)]{2cos(a)}^(n-6) +
[C(n-8,n-5)+C(n-8,n-4)]*{2cos(a)}^(n-8) -
etc.etc.etc. (продолжающаяся, пока степени числа 2cos(a) неотрицательны). Однако, я нашла информацию о том, что эта формула была установлена многократным переходом 2cos[(k+1)a] = 2cos(a)2cos(ka) - 2cos[(k-1)a], если начать от 2cos(2a) = C(2,2){2cos(a)}^2 - [C(0,0)+C(0,1)] и 2cos(1a) = C(1,1)*{2cos(a)}, помня C(0,0) = 11.

Леонид ЗайцевЗнаток (353) 1 месяц назад

Набежать на эту формулу можно, думая над тем, будет ли бесконечным "парад" треугольных чисел (всех порядков начиная с минус первого) в списке уравнений правильных (2m+1)угольников. Пример: C(5,5)x^5 - C(4,4)x^4 - C(3,4)x^3 + C(2,3)x^2 + C(1,3)x - C(0,2) = 0 есть уравнение правильного 11-угольника с решениями x = 2cos(1,3,5,7,9п/11); оно родственно уравнению 2cos(6a) + 2cos(5a) = 0, которое, будучи записано через 2cos(a) = x, начинается с x^6 и неповторяющиеся корни x = 2cos(1,3,5,7,9,11п/11). Из них лишь последний = -2 "новенький", потому полином 11-угольника после умножения на x+2 даст именно 2cos(6a) + 2cos(5a). Слагаемые с четными степенями х = 2cos(a) все вместе составят 2cos(6a), а из слагаемых с нечетными степенями x возникнет формула для 2cos(5a).

Оу шет мен гад дэм Гуру (4488) Леонид Зайцев, Формула для вычисления n-го члена многоугольного числа с количеством сторон больше 3 задается формулой: 1/2n[2 + (n - 1)(a - 2)] где n - количество сторон, а a - порядок многоугольного числа. Эта формула была приписана Гипсиклу Диофанту. Например, если вы хотите найти n-й член 7-угольника, вы будете использовать n = 7 и a = 3 (поскольку это треугольное число), что дает: 1/27[2 + (7 - 1)(3 - 2)] = 1/27[2 + 6] = 28 Следовательно, седьмой член последовательности треугольных чисел равен 28. Надеюсь, это поможет!

Леонид ЗайцевЗнаток (353) 1 месяц назад

Список треугольных чисел - он же
и список биномиальных коэф-тов
(читающихся по диагоналям) -
1 01 01 01 01 01 01 01 1
1 02 03 04 05 06 07 08
1 03 06 10 15 21 28
1 04 10 20 35 56
1 05 15 35 70
1 06 21 56
1 07 28
1 08
1
etc.
Список же уравнений правильных (2m+1)угольников
с решениями x = 2cos[1,3,5,7,...,(2m-1)п/(2m+1)] такой:
x^1 - 1 = 0
x^2 - x^1 - 1 = 0
x^3 - x^2 - 2x^1 + 1 = 0
x^4 - x^3 - 3x^2 + 2x^1 ++ 1 = 0
x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 ++ 3x^1 -- 1 = 0
x^6 - x^5 - 5x^4 + 4x^3 ++ 6x^2 -- 3x^1 --- 1 = 0
x^7 - x^6 - 6x^5 + 5x^4 + 10x^3 -- 6x^2 --- 4x^1 ++ 1 = 0
x^8 - x^7 - 7x^6 + 6x^5 + 15x^4 - 10x^3 - 10x^2 ++ 4x^1 + 1 = 0
x^9 - x^8 - 8x^7 + 7x^6 + 21x^5 - 15x^4 - 20x^3 + 10x^2 + 5x^1 - 1 = 0
etc.etc.etc., тем самым коэф-ты в нем - треугольные числа всех порядков начиная с минус первого.

Леонид ЗайцевЗнаток (353) 1 месяц назад

P(11) = С(5,5)*{2cos(a)}^5 - C(4,4)*{2cos(a)}^4 - C(3,4)*{2cos(a)}^3 + C(2,3)*{2cos(a)}^2 + C(1,3)*{2cos(a)} - C(0,4) = [2cos(a) - 2cos(1п/11)] * [2cos(a) - 2cos(3п/11)] * [2cos(a) - 2cos(5п/11)] * [2cos(a) - 2cos(7п/11)] * [2cos(a) - 2cos(9п/11)] . В то же время 2cos(6a) + 2cos(5a) = P(11) * [2cos(a) - 2cos(11п/11)] = P(11) * [2cos(a) + 2] , и после перемножения получается: 2cos(6a) + 2cos(5a) =
= C(5,5)x^6 + [2C(5,5)-C(4,4)]x^5 - [2C(4,4)+C(3,4)]x^4 - [2C(3,4)-C(2,3)]x^3 + [2C(2,3)+C(1,3)]x^2 + [2C(1,3)-C(0,2)]x - 2C(0,2), где x = 2cos(a); иначе говоря, C(6,6)x^6 + C(5,5)x^5 - [C(4,4)+C(4,5)]x^4 - [C(3,3)+C(3,4)]x^3 + [C(2,3)+С(2,4)]x^2 + [C(1,2)+C(1,3)]x - [C(0,2)+C(0,3)] . Четные степени числа 2cos(a) = x формируют 2cos(6a), нечетные же 2cos(5a).