Редкая тригонометрическая формула

Набежать на эту формулу можно, думая над тем, будет ли бесконечным "парад" треугольных чисел (всех порядков начиная с минус первого) в списке уравнений правильных (2m+1)угольников. Пример: C(5,5)x^5 - C(4,4)x^4 - C(3,4)x^3 + C(2,3)x^2 + C(1,3)x - C(0,2) = 0 есть уравнение правильного 11-угольника с решениями x = 2cos(1,3,5,7,9п/11); оно родственно уравнению 2cos(6a) + 2cos(5a) = 0, которое, будучи записано через 2cos(a) = x, начинается с x^6 и неповторяющиеся корни x = 2cos(1,3,5,7,9,11п/11). Из них лишь последний = -2 "новенький", потому полином 11-угольника после умножения на x+2 даст именно 2cos(6a) + 2cos(5a). Слагаемые с четными степенями х = 2cos(a) все вместе составят 2cos(6a), а из слагаемых с нечетными степенями x возникнет формула для 2cos(5a).

Список треугольных чисел - он же
и список биномиальных коэф-тов
(читающихся по диагоналям) -
1 01 01 01 01 01 01 01 1
1 02 03 04 05 06 07 08
1 03 06 10 15 21 28
1 04 10 20 35 56
1 05 15 35 70
1 06 21 56
1 07 28
1 08
1
etc.
Список же уравнений правильных (2m+1)угольников
с решениями x = 2cos[1,3,5,7,...,(2m-1)п/(2m+1)] такой:
x^1 - 1 = 0
x^2 - x^1 - 1 = 0
x^3 - x^2 - 2x^1 + 1 = 0
x^4 - x^3 - 3x^2 + 2x^1 ++ 1 = 0
x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 ++ 3x^1 -- 1 = 0
x^6 - x^5 - 5x^4 + 4x^3 ++ 6x^2 -- 3x^1 --- 1 = 0
x^7 - x^6 - 6x^5 + 5x^4 + 10x^3 -- 6x^2 --- 4x^1 ++ 1 = 0
x^8 - x^7 - 7x^6 + 6x^5 + 15x^4 - 10x^3 - 10x^2 ++ 4x^1 + 1 = 0
x^9 - x^8 - 8x^7 + 7x^6 + 21x^5 - 15x^4 - 20x^3 + 10x^2 + 5x^1 - 1 = 0
etc.etc.etc., тем самым коэф-ты в нем - треугольные числа всех порядков начиная с минус первого.

P(11) = С(5,5)*{2cos(a)}^5 - C(4,4)*{2cos(a)}^4 - C(3,4)*{2cos(a)}^3 + C(2,3)*{2cos(a)}^2 + C(1,3)*{2cos(a)} - C(0,4) = [2cos(a) - 2cos(1п/11)] * [2cos(a) - 2cos(3п/11)] * [2cos(a) - 2cos(5п/11)] * [2cos(a) - 2cos(7п/11)] * [2cos(a) - 2cos(9п/11)] . В то же время 2cos(6a) + 2cos(5a) = P(11) * [2cos(a) - 2cos(11п/11)] = P(11) * [2cos(a) + 2] , и после перемножения получается: 2cos(6a) + 2cos(5a) =
= C(5,5)x^6 + [2C(5,5)-C(4,4)]x^5 - [2C(4,4)+C(3,4)]x^4 - [2C(3,4)-C(2,3)]x^3 + [2C(2,3)+C(1,3)]x^2 + [2C(1,3)-C(0,2)]x - 2C(0,2), где x = 2cos(a); иначе говоря, C(6,6)x^6 + C(5,5)x^5 - [C(4,4)+C(4,5)]x^4 - [C(3,3)+C(3,4)]x^3 + [C(2,3)+С(2,4)]x^2 + [C(1,2)+C(1,3)]x - [C(0,2)+C(0,3)] . Четные степени числа 2cos(a) = x формируют 2cos(6a), нечетные же 2cos(5a).

Если всюду вместо а напишем п/2-a,
справа будет С(n-0,n-0)*{2sin(a)}^(n-0) --
-- [C(n-2,n-2)+C(n-2,n-1)]*{2sin(a)}^(n-2) +
+ [C(n-4,n-3)+C(n-4,n-2)]*{2sin(a)}^(n-4) --
-- [C(n-6,n-4)+C(n-6,n-3)]*{2sin(a)}^(n-6) +
+ etc., слева же четыре вариантa mod 4 :

2cos [(4N+2)*(п/2-a)] = 2cos [(2N+1)*п - (4N+2)*a] =
= 2cos[п - (4N+2)*a] = -2cos [(4N+2)*a] ,
2cos [4N*(п/2-a)] = 2cos [2N*п - 4N*a] =
= 2cos [-4N*a] = +2cos [4N*a] ,
2cos [(4N+1)*(п/2-а)] = 2cos [2N*п+п/2-(4N+1)*a)] =
= 2cos [п/2-(4N+1)*a] = +2sin [(4N+1)*a] ,
2cos [(4N-1)*(п/2-a)] = 2cos [2N*п-п/2-(4N-1)*a] =
= 2cos [п/2+(4N-1)*a] = -2sin [(4N-1)*a] .

2sin(2k*a) = P(2k-1)*2sin(a), где P(2k-1) =
= C(2k-1,2k-1)*{2cos(a)}^(2k-1) --
-- C(2k-3,2k-2)*{2cos(a)}^(2k-3) +
+ C(2k-5,2k-3)*{2cos(a)}^(2k-5) --
-- etc.

Полином P(2k-1) можно найти благодаря 2sin(2k*a) =
= [2cos{(2k+1)*a} - 2cos{(2k-1)*a}] : [-2sin(a)] . Будет
P(2k-1) = [2cos{(2k+1)*a} - 2cos{(2k-1)*a}] : [-4sin(a)^2] ,
совершив деление на {2cos(a)}^2 - 4. Сначала найдем
2cos{(2k+1)*a} = C(2k+1,2k+1) * {2cos(a)}^(2k+1) --
-- [C(2k-1,2k-1) + C(2k-1,2k+0)] * {2cos(a)}^(2k-1) +
+ [C(2k-3,2k-2) + C(2k-3,2k--1)] * {2cos(a)}^(2k-3) --
-- [C(2k-5,2k-3) + C(2k-5,2k--2)] * {2cos(a)}^(2k-5) +
+ etc. и вычитаемое
2cos{(2k--1)*a} = C(2k--1,2k--1) * {2cos(a)}^(2k-1) --
-- [C(2k-3,2k-3) + C(2k--3,2k--2)] * {2cos(a)}^(2k-3) +
+ [C(2k-5,2k-4) + C(2k--5,2k--3)] * {2cos(a)}^(2k-5) --
-- etc., разность, деленная на
2cos(a), будет = С(2k+1,2k+1) * {2cos(a)}^(2k-0) --
-- [2*C(2k-1,2k-1)+C(2k-1,2k-0)] * {2cos(a)}^(2k-2) +

+ [C(2k-3,2k-3)+2*C(2k-3,2k-2)+C(2k-3,2k-1)] * {2cos(a)}^(2k-4) --
-- [C(2k-5,2k-4)+2*C(2k-5,2k-3)+C(2k-5,2k-2)] * {2cos(a)}^(2k-6) +
+ [C(2k-7,2k-5)+2*C(2k-7,2k-4)+C(2k-5,2k-3)] * {2cos(a)}^(2k-8) -- etc.
Это делим на {2cos(a)}^2 - 4:
[A*{2cos}^(2k-2) - B*{2cos}^(2k-4) + C*{2cos}^(2k-6) - D*{2cos}^(2k-8) + etc.] x
x [{2cos}^2 - 4] = A*{2cos}^(2k-0) - (B+4A)*{2cos}^(2k-2) +
+ (C+4B)*{2cos}^(2k-4) - (D+4C)*{2cos}^(2k-6) + etc.
A = C(2k+1,2k+1) = C(2k-1,2k-1) ;
B = C(2k-1,2k-0) - 2*C(2k-1,2k-1) =
= C(2k-2,2k-1) - C(2k-2,2k-2) = C(2k-3,2k-2) ;
C = C(2k-3,2k-3) - 2*C(2k-3,2k-2) + C(2k-3,2k-1) =
= [C(2k-3,2k-1) - C(2k-3,2k-2)] - [C(2k-3,2k-2) - C(2k-3,2k-3)] =
= C(2k-4,2k-2) - C(2k-4,2k-3) = C(2k-5,2k-3) ;
D = C(2k-5,2k-4) - 2*C(2k-5,2k-3) + C(2k-5,2k-2) =

= [C(2k-5,2k-2) - C(2k-5,2k-3)] - [C(2k-5,2k-3) - C(2k-5,2k-4)] =
= C(2k-6,2k-3) - C(2k-6,2k-4) = C(2k-7,2k-4) ;
порядок уже виден - ясно, что дальше будут
E = С(2k-9,2k-5), F = C(2k-11,2k-6), G = (2k-13,2k-7), etc.
Тем самым найден полином P(2k-1) =
= C(2k-1,2k-1) * {2cos(a)}^(2k-1) --
-- C(2k-3,2k-2) * {2cos(a)}^(2k-3) +
+ C(2k-5,2k-3) * {2cos(a)}^(2k-5) --
-- C(2k-7,2k-4) * {2cos(a)}^(2k-7) + etc.,
после умножения на 2sin(a) дающий 2sin(2k*a).

Взятие п/2-а вместо а заменит 2cos(a) на 2sin(a)
в полиноме P(2k-1) и превратит одиночное 2sin(a)
в 2cos(a); в то же время 2sin{2k*(п/2-a)} = 2sin(kп-2k*a)
станет иметь два варианта: при k четном 2sin(-2k*a) =
= -2sin(2k*a), при k нечетном 2sin(п-2k*a) = +2sin(2k*a).