Можно ли остаться в армии после обязательной службы. И будут ли повышаться звания?

Естественно. По контракту можно

можно
будут - до прапора
потом нужно высшее образование - до подполковника
потом - академия - полковник и выше

Да.

можно через полгода контракт подписывать.

Можно. Возможно.