Решить систему: sinx * siny = 1/4 и cosx * cosy = 1/4 Уже решил, но посмотрите пожалуйста, верны ли размышления?

Question

Решить систему: sinx * siny = 1/4 и cosx * cosy = 1/4 Уже решил, но посмотрите пожалуйста, верны ли размышления?

Александр Варакин Ученик (9), на голосовании 1 день назад

Оба уравнения равны 1/4, значит они и равны между собой
cosx * cosy = sinx * siny

Перенесём переменные с синусом к косинусам.

cosx * cosy - sinx * siny = 0
Перед нами косинус суммы
cos(x+y) = 0
x + y = ±π/2 + 2πn, n € Z

Рассмотрим два случая, когда:
x + y = π/2 + 2πn
И когда:
x + y = -π/2 + 2πn

В первом случае получаем:
x+y = π/2 + 2πn
sinx * siny = 1/4

y = (π/2 + 2πn) - x
2sinx * sin(π/2 - x) = 1/2

Решим уравнение:
2sinx*cosx = 1/2
sin2x = 1/2
2*x1 = arcsin(1/2) + 2πk , k € Z
2*x2 = π - arcsin(1/2) + 2πk , k € Z

x1 = π/12 + πk
x2 = 5π/12 + πk

Потом находим значения игрека для этого случая и совершенно так же рассматриваем второй случай, говоря:

x + y = -π/2 + 2πn
sinx * siny = 1/4

В итоге получаем 4 значения Х и 4 значения Y.

Answer 1

Размышления-то верны, но неплохо бы до ответа довести их, чтоб арифметические ошибки поискать.

Я ответ я бы проверил двумя способами так.
1) Из соображений симметрии - породив очевидные (из условия задачи) симметрии общего решения системы.
Если (x, y) - частное решение вашей системы, то (y, x) - тоже частное решение, и, кроме того, (f(x), f(y)) и (g(x), g(y)) тоже частные решения, где f отображает тригонометрическую окружность симметрично относительно понравившейся вам координатной оси, g отображает единичную окружность относительно прямой y = x.
(f и g порождают группу симметрий квадрата).

2) Решив альтернативным способом, исходная система равносильна системе
cos(x+y) = 0
cos(x-y) = 1/2