(Случай, когда все корни уравнения выглядят как геометрические прогрессии.)

Question

(Случай, когда все корни уравнения выглядят как геометрические прогрессии.)

Леонид Зайцев Знаток (387), на голосовании 1 неделю назад

Икс = a^(1/5)*w^1 + a^(2/5)*w^2 + a^(3/5)*w^3 + a^(4/5)*w^4, где w^5 = 1. Найти отвечающее сразу всем таким Икс уравнение 5-й степени (с коэф-тами, свободными от радикалов).

Answer 1

Amaxar 777 Высший разум (106738) 1 месяц назад

Ну дык запишите в таком виде:
(x - x1) (x - x2) (x - x3) (x - x4) (x - x5) = 0,
раскройте скобки, приведите подобные.

Леонид ЗайцевЗнаток (387) 1 месяц назад

Очень много работы - времени и внимания потребуется огромное количество... Есть воздушный, быстрый путь, доступный всем учащимся (впервые он был замечен в XVIII веке Этьеном Безу, прочитать о нем можно в книге Жаклин Стедалл "От Ньютона до Лагранжа").

Леонид Зайцев Знаток (387) <сберегая время людей> Помогает "шаг в сторону": x + w^5*a^(5/5) и w^0*a^(0/5) + x тоже геометрические прогрессии, причем их отношение равно w^1*a^(1/5). Можно упростить запись: (x + a) / (1 + x) = w*a^(1/5). Освобождаемся от иррациональности справа возведением обеих частей в 5-ю степень, - будет (x + a)^5 / (1 + x)^5 = a, то есть (x + a)^5 = a * (x + 1)^5. Уравнение построено. После раскрытия скобок: x^5 + 5a*x^4 + 10a^2*x^3 + 10a^3*x^2 + 5a^4*x + a^5 = = ax^5 + 5a*x^4 + 10a*x^3 + 10a*x^2 + 5a*x + a. Уединим высшую степень x в левой части: (a-1)x^5 = 10(a^2-a)x^3 + 10(a^3-a)x^2 + 5(a^4-a)x + (a^5-a), и при а отличном от 1 можно сократить на а-1: уравнение x^5 = 10ax^3 + 10a(a+1)x^2 + 5a(a^2+a+1)x + a(a^3+a^2+a+1) имеет пять вышеназванных решений.

Леонид ЗайцевЗнаток (387) 1 месяц назад

<отдельное рассмотрение при а = 1>
Здесь x = w^1 + w^2 + w^3 + w^4, причем w^5 = 1.
Поскольку w^5 - 1 = 0 есть (w - 1) * (w^4 + w^3 + w^2 + w + 1) = 0,
при w = 1 будет x = 1^1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 = 4; возможность
w^4 + w^3 + w^2 + w = -1 показывает, что каждому из четырех комплексных значений w отвечает x = -1, потому при a = 1
ответом служит уравнение (x-4) * (x+1)^4 = 0, то есть
(x^5 + 4x^4 + 6x^3 + 4x^2 + x) - (4x^4 + 16x^3 + 24x^2 + 16x + 4) = 0,
иначе говоря x^5 = 10x^3 + 20x^2 + 15x + 4. Оно оказывается
частным случаем ур-я, найденного для a отличных от 1, т.е.
x^5 = 10ax^3 + 10a(a+1)x^2 + 5a(a^2+a+1)x + a(a^3+a^2+a+1).