Биссектриса угла. Свойства биссектрисы угла. Следствие

Биссектриса угла - это луч, который делит угол на два равных угла. Свойства биссектрисы угла:

1. Биссектриса угла делит противолежащую сторону на два отрезка, пропорциональных друг другу и пропорциональных сумме двух других сторон треугольника. Если называть буквами вершины угла (например, A, B, C), биссектриса угла, проведенная из вершины C, делит сторону AB на отрезки AC' и C' B, причем AC'/BC' = AC/CB.

2. Точка, в которой биссектриса угла пересекает описанную окружность, находится на равном расстоянии от сторон угла. Это означает, что если провести перпендикуляры из этой точки на стороны угла, то получатся отрезки, равные друг другу.

3. В каждом треугольнике существует три биссектрисы углов, которые пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

Следствие из свойств биссектрисы угла:

Если из вершины угла провести биссектрисы, разделяющие его на два равных угла, то каждый такой угол будет равен половине суммы данного угла и его соседнего угла.

То есть, если угол ABC разделен биссектрисой BD, где D лежит на AC, то BD разделяет угол ABC на два равных угла: угол ABD и угол CBD. Эти углы равны по величине половине суммы угла ABC и угла BAC (ABD) и половине суммы угла ABC и угла ACB (CBD). Таким образом, ABD = CBD = 1/2 (ABC + BAC) = 1/2 (ABC + ACB).