В треугольнике КМР сторона МК = 8 см, угол Р = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.?

Мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти радиус описанной окружности треугольника:
г = а/(2sin(A))
где r — радиус описанной окружности, a — длина одной стороны треугольника, а A — угол, противоположный этой стороне.

В этом случае нам нужно найти длину стороны KP, чтобы использовать эту формулу. Для этого можно использовать закон косинусов:
КП^2 = МК^2 + МП^2 - 2(МК)(МП)cos(P)
КП^2 = 8^2 + МП^2 - 2(8)(МП)(1/2)
КП^2 = МП^2 + 32 - 8МП

Мы также знаем, что угол KMP равен 120° (так как сумма углов треугольника составляет 180°, а углы K и P равны 30°).

Мы можем снова использовать закон косинусов, чтобы найти MP:
МП ^ 2 = МК ^ 2 + ПК ^ 2 - 2 (МК) (ПК) потому что (К)
МП^2 = 8^2 + ПК^2 - 2(8)(ПК)(1/2)
МП^2 = ПК^2 + 32 - 4ПК

Теперь мы можем использовать тот факт, что углы K и P в сумме составляют 30°, чтобы найти угол PKM:
ПКМ = 180° - КМП - КПМ
ПКМ = 180° - 120° - 30°
ПКМ = 30°

Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти PK:
ПК/грех(ПКМ) = МП/грех(П)
PK/sin(30°) = MP/sin(60°)
ПК = (МП/2)(√3)
ПК = (√(ПК^2))(√3/2)
ПК = (√(32 - 4MP))(√3/2)

Теперь мы можем подставить это значение для PK в наше уравнение для KP^2:
КП^2 = МП^2 + 32 - 8МП
КП^2 = (2ПК/√3)^2 + 32 - 8(2ПК/√3)(√3/2)
КП^2 = 4ПК^2/3 + 32 - 8ПК
КП^2 = 4(32 - 4МП)/3 + 32 - 8√(32 - 4МП)
КП^2 = 128/3 - 8√(32 - 4 МП)

Теперь мы можем подставить KP в нашу формулу для радиуса описанной окружности:
г = КП/(2sin(К))
г = КП/(2sin(120°))
г = КП/√3

Подставив наше выражение для КП и упростив, получим:

г = (√(32 - 4MP))(√3/6)

Чтобы найти MP, мы можем подставить наше выражение для PK в уравнение, которое мы получили ранее:
МП^2 = ПК^2 + 32 - 4ПК
MP^2 = (32 - 4MP) + 32 - 4√(32 - 4MP)
МП^2 + 4√(32 - 4МП) = 64
(МП/2 + √(32 - 4МП))^2 = 64
МП/2 + √(32 - 4 МП) = ±8
МП/2 = 8 - √(32 - 4МП)

Извлекая положительный корень и решая для MP, получаем:

МП = 4(√3)

Подставляя это в наше выражение для r, мы получаем:

г = (√(32 - 4(4√3)))(√3/6)
г = (√(16 - 16√3))(√3/6)
г = (√3 - 1)(√3/3)
г = (√3 - 1)/√3 ≈ 0,4228 см

Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг треугольника KMP, примерно равен 0,4228 см.