Вычислить поток векторного поля a, через внешнюю поверхность пирамиды, образованную пл. P и координатными плоскостями

Сложно

Для вычисления потока векторного поля через поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями, необходимо использовать теорему о потоке. Эта теорема утверждает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному данной поверхностью.

Итак, вначале найдем дивергенцию векторного поля a:

div(a) = ∂(3x+y)/∂x + ∂(x+z)/∂y + ∂y/∂z = 3 + 0 + 0 = 3

Теперь определим границы интегрирования. Плоскость P пересекает оси координат в следующих точках:

x + 2y + z = 2

При y = 0, z = 0: x = 2
При x = 0, z = 0: 2y = 2 => y = 1
При x = 0, y = 0: z = 2

Таким образом, пирамида образована плоскостью P и координатными плоскостями имеет следующие вершины: A(2,0,0), B(0,1,0) и C(0,0,2).

Теперь найдем объемный интеграл:

∬∬∬(div(a) dV) = ∬∬∬(3 dV)

Объем пирамиды можно выразить через определитель матрицы, составленной из координат вершин:

V = (1/6) * | x1 y1 z1 | | x2 y2 z2 | | x3 y3 z3 |

V = (1/6) * | 2 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 2 |

V = (1/6) * (2 * (1 * 2 - 0 * 0) - 0 * (0 * 2 - 0 * 0) + 0 * (0 * 0 - 1 * 0)) = (1/6) * 4 = 2/3

Теперь вычислим объемный интеграл, учитывая что дивергенция равна 3:

∬∬∬(3 dV) = 3 * ∬∬∬(dV) = 3 * V = 3 * (2/3) = 2

Итак, поток векторного поля a через внешнюю поверхность пирамиды равен 2.