Найти ортогональный базис
Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторов {(1,1,1,1), (-1,1,-1,1), (2,0,2,0}
Забабахайте из этих трех вектор матрицу. Найдите ее ранг. Если ранг равен 2м, то размерность линейной оболочки 2. Два первых вектора уже ортогональны, вот их в качестве базиса и берите. Если ранг равен 3с, тогда два ортогональных вектора есть, а третий можно ортогонализавть про Грамму-Шмидту.
легыкотня...
первые два уже как есть пойдут в базис
Для того чтобы найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторов {(1,1,1,1), (-1,1,-1,1), (2,0,2,0)}, можно воспользоваться процессом Грама-Шмидта. Этот алгоритм позволяет преобразовать заданный набор линейно независимых векторов в ортонормированный базис их линейной оболочки.
1. Возьмите первый вектор (1,1,1,1) и нормализуйте его:
u1 = (1,1,1,1)/||(1,1,1,1)|| = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)
2. Вычислите проекцию второго вектора на u1 и вычтите ее из второго вектора:
proj_u1_v2 = ((-1,1,-1,1)⋅u1) * u1 = (0, 1/2, 0, 1/2)
v2_ort = (-1,1,-1,1) - proj_u1_v2 = (-1, 1/2, -1, 1/2)
Нормализуйте v2_ort:
u2 = v2_ort/||v2_ort|| = (-1/sqrt(6), 1/(2*sqrt(6)), -1/sqrt(6), 1/(2*sqrt(6)))
3. Вычислите проекции третьего вектора на u1 и u2, и вычтите их из третьего вектора:
proj_u1_v3 = ((2,0,2,0)⋅u1) * u1 = (1, 1/2, 1, 1/2)
proj_u2_v3 = ((2,0,2,0)⋅u2) * u2 = (1/3, -1/6, 1/3, -1/6)
v3_ort = (2,0,2,0) - proj_u1_v3 - proj_u2_v3 = (0, 0, 0, 0)
Так как v3_ort - это нулевой вектор, это означает, что третий вектор линейно зависим от первых двух, и его можно исключить из базиса.
Таким образом, ортогональный базис линейной оболочки заданных векторов состоит из векторов u1 и u2:
{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (-1/sqrt(6), 1/(2*sqrt(6)), -1/sqrt(6), 1/(2*sqrt(6)))}