Помогите пожалуйста с геометрической прогрессией
1). Первый член убывающей геометрической прогрессии равен 9, а четвертый член равен 1/3. Вычислите сумму прогрессии.
2). Найдите сумму убывающей геометрической прогрессии, где сумма первых трех членов прогрессии равна 7, а произведение тех же членов равно 8.
1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для убывающей геометрической прогрессии:
an = a1*q^(n-1), где
an - n-й член прогрессии
a1 - первый член прогрессии
q - знаменатель прогрессии
n - номер члена прогрессии
Таким образом, имеем систему уравнений:
a1 = 9
a4 = 1/3
a4 = a1*q^(4-1)
1/3 = 9*q^3
q^3 = 1/27
q = 1/3
Теперь можем найти любой член прогрессии, например, пятый:
a5 = a1*q^(5-1) = 9*(1/3)^4 = 1/27
Теперь можем воспользоваться формулой для суммы убывающей геометрической прогрессии:
Sn = a1*(1-q^n)/(1-q), где
Sn - сумма n членов прогрессии
Таким образом,
S5 = 9*(1-(1/3)^5)/(1-1/3) = 9*(1-1/243)/(2/3) = 8
Ответ: сумма убывающей геометрической прогрессии равна 8.
2) Также воспользуемся формулой для убывающей геометрической прогрессии:
an = a1*q^(n-1), где
an - n-й член прогрессии
a1 - первый член прогрессии
q - знаменатель прогрессии
n - номер члена прогрессии
И системой уравнений:
a1*q*(1+q+q^2) = 7
a1^3*q^3 = 8
Можно переписать в виде:
a1 = 7/(q*(1+q+q^2))
q^3 = 8/a1^3
Теперь можем подставить выражение для a1 во второе уравнение и решить его:
q^3 = 8/((7/q*(1+q+q^2))^3)
q = 1/2
Теперь можем найти первый член прогрессии:
a1 = 7/(1/2*(1+1/2+1/4)) = 7*4/5 = 5.6
И вычислить сумму убывающей геометрической прогрессии:
S = a1/(1-q) = 5.6/(1-1/2) = 11.2
Ответ: сумма убывающей геометрической прогрессии равна 11.2.
1)Обозначим знаменатель прогрессии через q. Тогда имеем систему уравнений: 9q^3 = 1/3 9q^4 Сумма прогрессии равна: S = 9 + 27q + 81q^2.
Решая систему уравнений, мы находим q = 1/3 и тогда сумма прогрессии S = (9(1-(1/3)^4))/(1-1/3) = 36.
2)Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель - через q. Тогда из условия задачи имеем два уравнения: a + aq + aq^2 = 7 aq^2 = 8
Откуда находим q = 2, a = 1. Сумма прогрессии равна: S = 1/(1-2) = -1.