На вопросы как сделать можно сказать лишь "учи язык". Люди приводят конкретный случай, пример кода и рассказывают предысторию, однако все это не надо. Вопрос надо стараться ставить так: "Как сохранить данные в localStorage"? И на простом примере понимаешь. А после натягиваешь на свою модель. Зачем тебе перезагружать страницу? Можно же просто очистить холст или удалить картинки, сбросить переменные очков... А если все так нужно так, то что типа такого:
if (localStorage.getItem('record')) {
//Выполняем код
}
Если уже есть обозначенная переменная рекорда(В игру уже играли и предположительно перезагрузили страницу с целью начать новую игру), она равна true, то выполняем код.
Или наоборот, ставить проверку !== undefined