Сохраняет ли роутер историю поиска

Такую историю нельзя очистить самостоятельно, насколько я знаю. Но доступ к ней имеет только администрация провайдера, которая её просто так у всех подряд не просматривает. Также никому эту историю не покажут, только если вас не ищут правоохранительные органы за какой-нибудь скам.

У провайдера остается база, примерно дней 7

эти данные хранятся у провайдера

Роутер хранит только данные для связи с провайдером, а для Вас имя сети и пароль.
Естественно, что роутер ничего не ищет в Интернете и не сохраняет.

Режим инко́гнито в браузере подразумевает отдельный профиль (папку), который кэширует (сохраняет) туда данные. Но при закрытии браузера, очищает все кэшированные данные - с компьютера.

Сам роутер не сохраняет историю Ваших шатаний в интернете
(Для сохранения было б необходимо в роутере установить устройство хранения данной информации)

Роутер "помнит" устройства, которые были подключены к нему
Ну и настройки, которые Вы сделали

(А история посещения сайтов сохраняется у провайдера (оператора)
И, заметьте, Ваше шарахание по сайтам интернета сохраняется даже когда Вы пользуетесь браузером в режиме "инкогнито"

Данный режим отключает сохранение посещений сайтов на Вашем (личном) устройстве (что бы домашние (например папа с мамой) не могли узнать где Вы шарились
Но данный режим не блокирует сохранение Ваших шараханий по интернету со стороны провайдера

Обычный бытовой - нет. А воп программный прокси вполне может.

Да сохраняет но в основном очень ограниченную, Например сколько вы были в сети, и когда было установлено подключение к интернету. По умолчанию роутер не хранит информацию о том какие веб сайты и когда вы их посещали если конечно у вас не установлен родительский контроль