Олимпиадные задачи по геометрии и алгебре

Question

Олимпиадные задачи по геометрии и алгебре

Александр Щербаков Ученик (189), закрыт 10 месяцев назад

номер1
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем AB=AD. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке E. На диагонали AC выбрана точка F так, что ∠BFC=∠BAD. Найдите отношение BE / DE, если известно, что ∠BAD=2∠DFC.
номер2
Внутри треугольника ABC выбрана точка P так, что ∠ABP = 20° , ∠PBC = 10° , ∠ ACP =20° и ∠ PCB=30°. Найдите величину ∠CAP (в градусах).
номер3
Илья посчитал произведение всех натуральных чисел от 1 до 2023 и написал результат на доске. Вася посчитал сумму цифр написанного числа. Потом у полученного числа снова посчитал сумму цифр. Потом у полученного числа снова посчитал сумму цифр. Так он продолжал до тех пор, пока не получилось число, состоящее из одной цифры. Какая это цифра?
номер4
Чему равен остаток от деления многочлена x^95+x^27-2x^13+3x^9-x+4 на x+1?
чертежей нет

Answer 1

Бело-оранжевый Икарус Профи (594) 11 месяцев назад

3. В данном процессе есть инвариант - остаток от деления на 9. Он следует из признака делимости на 9. Вначале число делилось на 9, стало быть, останется цифра 9.
4 Если Р(х) = (х+1) Q(x) + R, то при подстановке х = -1 получается R = P(-1). Это называется теорема Безу.
Р(-1) сам подставишь

Александр ЩербаковУченик (189) 11 месяцев назад

а можно 3-юзадчу немного по подробнее?

Бело-оранжевый Икарус Профи (594) Александр Щербаков, число и сумма его цифр дают один остаток от дел на 9. Распиши число как sum (10^k a_k} и все увидишь.

Виктор АрхиповПрофи (861) 11 месяцев назад

Я правильно понимаю, что надо вместо х подставить-1? Если да, то получается что мы делим на 0 (-1+1)

Бело-оранжевый Икарус Профи (594) Виктор Архипов, мы подставляем х=-1 не на этапе деления многочленов, а уже после.

Answer 2

Исмагил Рустемович Профи (559) 11 месяцев назад

д

Answer 3

про многочлен ни слова....тута приличные люди.....

Answer 4

1. Пусть ∠BAD=x. В таком случае ∠DFC=x/2, так как ∠BAD=2∠DFC. Также, так как AB=AD, то ∆ABD - равнобедренный, а значит, BD - биссектриса угла BAD и угол ABE равен половине угла BAD. Получаем, что ∠ABE=x/2. Углы внутри треугольника BCF должны в сумме давать 180 градусов: (180-x)+x+(2x)=180. Отсюда находим, что x=60. Так как ABED - равнобедренный, то ED=EB. По теореме о пересекающихся хордах, получаем, что FA*FC=FB*FD. Заменяем FC на FA, так как ∠DFC=∠ABE: FA^2=FB*FD. В таком случае (BD+DE)*(BD-BE)=BD^2-AB^2=(BD+DE)*(BD-DE). Сокращаем на (BD+DE) и получаем, что BD-BE=BD-DE, откуда BE=DE. Ответ: BE/DE=1.
2. Найдем ∠BAP=30°, так как сумма углов ∆ABP=180°. Теперь найдем ∠BPC. Он равен 180°-∠APB-∠BPC=180°-20°-10°=150°. Теперь найдем ∠ACP: ∠ACP=∠APC=180°-∠BPC-∠PCA=180°-150°-20°=10°. Из двух треугольников - ∆ABP и ∆ACP - мы знаем два угла. Третий угол третьего треугольника, ∠CAP, мы можем найти, вычтя из 180° первый угол третьего треугольника и сумму двух других углов, то есть: ∠CAP=180°-20°-10°=150°. Ответ: ∠CAP=150°.
3. Результатом умножения чисел от 1 до 2023 будет число, около 6800 цифр. Сумма цифр этого числа составит около 28000. Сумма цифр полученного числа будет около 100, а сумма цифр последующего числа единична. Значит, последующее число будет равно 1, так как никакое увеличение числа на сумму своих цифр больше в 1 раза не уменьшает количество цифр в числе. Ответ: 1.
4. Остаток от деления многочлена на (x+1) равен f(-1), то есть результат подстановки -1 в каждый член многочлена, складывания их и взятия остатка по модулю. Получаем: (-1)^95+(-1)^27-2(-1)^13+3(-1)^9-(-1)+4=-1-1-2-3-1+4=-4. Остаток равен -4. Ответ: -4.