Формула Бернулли и биномиальное распределение

Формула Бернулли и биномиальное распределение помогают решать задачи, связанные с вероятностями успеха и неудачи в серии независимых экспериментов.

В данной задаче у нас есть пять вопросов, на каждый из которых студент может дать один из трех ответов. Чтобы решить задачу, мы воспользуемся биномиальным распределением.

а) Чтобы найти вероятность того, что студент даст ровно два правильных ответа, мы будем использовать формулу Бернулли. Вероятность успеха (правильного ответа) обозначим как p, а вероятность неудачи (неправильного ответа) будет равна 1 - p. В данном случае p = 1/3, так как студент выбирает ответ наудачу из трех возможных.

Формула Бернулли выглядит следующим образом:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов в серии из n экспериментов,
C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е. количество способов выбрать k элементов из n),
p - вероятность успеха,
1 - p - вероятность неудачи,
n - общее количество экспериментов,
k - количество успехов (в данном случае - количество правильных ответов).

В данном случае у нас n = 5 (пять вопросов), k = 2 (два правильных ответа) и p = 1/3 (вероятность правильного ответа).

Подставим значения в формулу Бернулли:
P(X = 2) = C(5, 2) * (1/3)^2 * (2/3)^(5 - 2).

Рассчитаем числитель и знаменатель:
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10,
(1/3)^2 = 1/9,
(2/3)^(5-2) = 2/3.

Теперь подставим значения:
P(X = 2) = 10 * (1/9) * (2/3) = 20/27.

Таким образом, вероятность того, что студент даст ровно два правильных ответа, составляет 20/27.

б) Чтобы найти математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X) числа правильных ответов, мы также используем биномиальное распределение.

Математическое ожидание М(X) для биномиального распределения можно рассчитать по формуле:
М(X) = n * p,

где М(X) - математическое ожидание числа успехов (правильных ответов),
n - общее количество экспериментов,
p - вероятность успеха.

В данном случае у нас n = 5 (пять вопросов) и p = 1/3 (вероятность правильного ответа).
Подставим значения:
М(X) = 5 * (1/3) = 5/3.

Таким образом, математическое ожидание числа правильных ответов равно 5/3.

Дисперсия D(X) для биномиального распределения можно рассчитать по формуле:
D(X) = n * p * (1 - p),

где D(X) - дисперсия числа успехов (правильных ответов),
n - общее количество экспериментов,
p - вероятность успеха.

В данном случае у нас n = 5 (пять вопросов) и p = 1/3 (вероятность правильного ответа).
Подставим значения:
D(X) = 5 * (1/3) * (1 - 1/3) = 5/9.

Таким образом, дисперсия числа правильных ответов равна 5/9.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.