Можно ли починить гирлянду, приделав простую вилку, без блока? Будет работать в одном режиме?

Если гирлянда диодная, то нужен как минимум выпрямитель

Будет работать в режиме «уголек».

скорее всего нет, так как гирлянда наверняка светодиодная, а светодиодам нужно постоянное напряжение (в розетке у нас переменное). Помимо того, надо посмотреть сколько у вас светодиодов на одной линии. Обычное питание светодиода в районе 3В, чтобы они не перегорели нужно примерно 230/3=77 светодиодов на линию и хотя бы светодиодный мост для выпрямления напряжения.