Доказать: cos α + cos β + cos γ -1 = 4*sin α/2 *sin β/2*sin γ/2

cosγ = cos(π – α – β) = –cos(α + β),
sin(γ/2) = sin(π/2 – α/2 – β/2) = cos(α/2 + β/2).

Таким образом, надо доказать, что:

cos α + cos β – cos(α + β) – 1 = 4*sin (α/2)*sin(β/2)*cos(α/2 + β/2).

Подставим сюда:

cos(α + β) = 2*cos^2(α/2 + β/2) – 1,
cos α + cos β = 2*cos(α/2 + β/2)*cos(α/2 – β/2).

Тогда получим, что 2*cos(α/2 + β/2)*cos(α/2 – β/2) – 2*cos^2(α/2 + β/2) = 4*sin (α/2)*sin(β/2)*cos(α/2 + β/2), то есть теперь нам достаточно доказать, что:

cos(α/2 – β/2) – cos(α/2 + β/2) = 2*sin(α/2)*sin(β/2).

Но это равенство как раз и выполняется при любых α и β, так как получается вычитанием друг из друга двух равенств:

cos(α/2 – β/2) = сos(α/2)cos(β/2) + sin(α/2)sin(β/2),
cos(α/2 + β/2) = сos(α/2)cos(β/2) – sin(α/2)sin(β/2).

Утверждение доказано.