Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Доказать: cos α + cos β + cos γ -1 = 4*sin α/2 *sin β/2*sin γ/2

Артем Шарфутдинов Знаток (308), закрыт 11 месяцев назад
Доказать что: cos α + cos β + cos γ -1 = 4*sin α/2 *sin β/2*sin γ/2
Если α +β + γ =π
Лучший ответ
Алексей Лукьянов Высший разум (180413) 1 год назад
cosγ = cos(π – α – β) = –cos(α + β),
sin(γ/2) = sin(π/2 – α/2 – β/2) = cos(α/2 + β/2).

Таким образом, надо доказать, что:

cos α + cos β – cos(α + β) – 1 = 4*sin (α/2)*sin(β/2)*cos(α/2 + β/2).

Подставим сюда:

cos(α + β) = 2*cos^2(α/2 + β/2) – 1,
cos α + cos β = 2*cos(α/2 + β/2)*cos(α/2 – β/2).

Тогда получим, что 2*cos(α/2 + β/2)*cos(α/2 – β/2) – 2*cos^2(α/2 + β/2) = 4*sin (α/2)*sin(β/2)*cos(α/2 + β/2), то есть теперь нам достаточно доказать, что:

cos(α/2 – β/2) – cos(α/2 + β/2) = 2*sin(α/2)*sin(β/2).

Но это равенство как раз и выполняется при любых α и β, так как получается вычитанием друг из друга двух равенств:

cos(α/2 – β/2) = сos(α/2)cos(β/2) + sin(α/2)sin(β/2),
cos(α/2 + β/2) = сos(α/2)cos(β/2) – sin(α/2)sin(β/2).

Утверждение доказано.
Остальные ответы
kommentator Искусственный Интеллект (203606) 1 год назад
докажу, но 2 сентября. У меня каникулы
Артем ШарфутдиновЗнаток (308) 1 год назад
неа, я спать не могу пока не узнаю как ее решать
Тадасана Просветленный (38893) Артем Шарфутдинов, Вы еще не спели уснуть?
Тадасана Просветленный (38893) 1 год назад
Погодите, не спешите засыпать!!!
Я угадал правильный ответ в такой похожей задачке, или не угадал?
Понятно, что подстановкой можно направильные варианты отбросить, но это неспортивно.

Похожие вопросы