При каких значениях a корни уравнений x^2-5x+4 = 0 и 2x - a = 0 различны и составляют геометрическую прогрессию?

Если корни уравнения x^2-5x+4=0 образуют геометрическую прогрессию, то

x^2-5x+4=0

можно переписать в виде

x^2 = kx,

где k – коэффициент пропорциональности между корнями уравнения в геометрической прогрессии. Так как любой корень геометрической прогрессии отличен от нуля, то k ≠ 0. Делим обе части на x:

x = k.

Подставляем это во второе уравнение:

2k - a = 0.

Отсюда a = 2k. Подставляем a в первое уравнение и получаем

x^2 - 5x + 4 = 0,

x^2 - 2kx + 4 = 0.

Корни этого уравнения равны

x1,2 = (2k ± √(4k^2 - 16)) / 2 = k ± √(k^2 - 4).

Чтобы корни были различными и совпадали с элементами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы их разность не была равна нулю, то есть

(k + √(k^2 - 4)) / (k - √(k^2 - 4)) ≠ 1.

Решим это неравенство:

(k + √(k^2 - 4)) / (k - √(k^2 - 4)) ≠ 1,

(k + √(k^2 - 4)) ≠ k - √(k^2 - 4),

2√(k^2 - 4) ≠ -2k,

√(k^2 - 4) ≠ -k.

Квадрат обеих частей последнего неравенства равен

k^2 - 4 ≠ k^2,

что верно при любом k. Следовательно, корни уравнения x^2 - 5x + 4 = 0 могут образовывать геометрическую прогрессию при любых значениях параметра a

Корни квадратного уравнения
x1=1
x2=4
Тогда корень второго уравнения может быть:
1) первым членом прогрессии со знаменателем 4
x3=1/4
a1=1/2
2) средним членом прогрессии со знаменателем +/-2
x3=2
a2=4
x4=-2 (знакочередующаяся геометрическая прогрессия)
а3=-4
3) третьим членом прогрессии со знаменателем 4:
x4=16
a=32
Ответ: При значениях а:
1) 1/2
2) 4
3) -4
4) 32