Может ли быть такое что прошла неделя с рождения а ребенку неуспели сделать постоянную регистрацию?

Сначала - получение видетельства о рождении, потом регистрация.

Самое главное:

"...Родители, не оформившие регистрацию ребенка по месту жительства в течение месяца после рождения ребенка, рискуют получить штраф от 2 тысяч до 5 тысяч рублей (согласно Кодексу об административных нарушениях). Оштрафуют вас по наводке бдительных соседей, домкома и даже участкового педиатра. Помимо этого, ребенка «без прописки» не устроишь в детский сад, его сложнее прикрепить к поликлинике и прочее...."