В чём разница между bet и wager?

Bet – делать ставку, ставка (т.е. поставить деньли на выигрыш). Wager – пари (может значит как договор между спорщиками и как азартная игра, если смотреть с точки зрения спортивного беттинга). Слова могут использоваться как синонимы и взаимозаменятся.

Как глагол или как существительное?

Сначала о существительном. В строгом юридическом смысле "bet" — это сделка пари, а "wager" — ставка (т.е., деньги или вещи, которые участник пари поставил "на кон"). Но есть куча людей, которые в таких тонкостях не разбираются.

Теперь о глаголах. Глаголы "bet" и "wager" в приложении к азартным играм более или менее синонимы, но в переносном смысле (принятие решений в условиях неопределенности) "bet" используется сильно чаще, чем "wager". Типа "five years ago, the company has bet a lot on this product, and the bet is about to pay off".

They mean the same thing, but "bet" is used a lot less literally than "wager"

If I say "I bet it will happen", it means, I expect it to happen. This is a very common phrase.

If I say "I wager it will happen", it means, I want to actually wager money on it. This phrase would not be used in casual conversation.