Как найти радиус описанной окружности трапеции?

Если трапеция вписана в окружность, то она обязательно равнобедренная. Заметив это, опустим высоту CH. Тогда отрезок HD равен полуразности оснований |a - b| / 2, а отрезок AH — полусумме (a + b) / 2, что легко увидеть, если опустить вторую высоту из точки B.

Теперь, поскольку нам известно, что CH также равна полусумме оснований, имеем равнобедренный прямоугольный треугольник CHA. Таким образом, угол CAH равен 45 градусов, откуда мера дуги CD равна 90 градусам.

Теперь отметим центр окружности O и соединим его с точками C и D. Это снова равнобедренный прямоугольный треугольник, потому что OC = OD (радиусы), а центральный угол COD опирается на дугу CD в 90 градусов. Получается,
R = CO = CD / √2

Найдём CD по теореме Пифагора:
CD² = CH² + HD² = (a + b)² / 4 + (a - b)² / 4 = (a² + b²) / 2
=> CD = √(a² + b²) / √2

Итого радиус равен R = √(a² + b²) / 2
__________

Альтернативно после поиска CD можно было найти синус угла CDA из треугольника CHD и длину AC из треугольника CHA, а затем воспользоваться формулой радиуса описанной окружности из теоремы синусов
2R = AC / sin(D)