Геометрия, подобные треугольники

Предположим, что у нас есть два подобных треугольника. Обозначим их как ABC и A'B'C', где A, B и C - вершины первого треугольника, а A', B' и C' - вершины второго треугольника. Также предполагаем, что отношение длин высот, проведенных из соответствующих вершин, равно h1/h1' = h2/h2' = h3/h3', где h1, h2, h3 - длины высот в первом треугольнике, а h1', h2', h3' - длины высот во втором треугольнике.
Рассмотрим, например, отношение h1/h1'. Проведем высоту h1 в треугольнике ABC из вершины A и высоту h1' в треугольнике A'B'C' из вершины A'. Поскольку треугольники подобны, угол между высотой и основанием в обоих треугольниках будет одинаковый. Пусть этот угол в треугольнике ABC равен α, а в треугольнике A'B'C' - α'.
Также известно, что вертикальные углы, образованные высотой и стороной треугольника, равны 90 градусам. Таким образом, мы имеем подобные прямоугольные треугольники ABE и A'B'E', где E и E' - основания высот.
По теореме о подобии прямоугольных треугольников, отношение длин сторон треугольников ABC и A'B'C' будет равно отношению длин соответствующих сторон, а также отношению длин высот, проведенных из соответствующих вершин. То есть:
AB/A'B' = BE/B'E' = h1/h1'
Таким образом, отношение длин высот h1/h1' будет равно отношению длин соответствующих сторон треугольников ABC и A'B'C', то есть коэффициенту подобия.
Аналогичным образом можно рассмотреть отношения h2/h2' и h3/h3' и увидеть, что они также равны коэффициенту подобия этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника подобны, то отношение длин их высот, проведенных из соответствующих вершин, будет равно коэффициенту подобия.
Лучше звони Солу