Этапы научного иследования

Наблюдение (Пифагор):

половина струны звучит на октаву выше чем вся струна,
четверть струны - на две октавы выше чем вся струна,
восьмая часть струны - на три октавы выше чем вся струна,
и так далее.

Обобщение:

(1/2)^N всей струны звучит на N октав выше чем вся струна.

Постановка проблемы:

чему равна разница (в долях октавы) между До и Си#,
если чистую квинту считать пифагорейской -
заимствуя ее из обертонового ряда?

Выдвижение гипотез:

ничего не высчитывая, можно предположить, что Си# выше чем До,
потому что звуки малой секунды Cи# - До# хочется соединить лигой,
в то время как между звуками увеличенной примы До - До# сознание
ставит воображаемую запятую (есть перемена красок минор - мажор).

Разработка и проведение эксперимента:

две чистые квинты дают малую нону, из которой спуском на октаву можно
получить пифагорейскую большую секунду; идея в том чтобы двигаться
парами квинт, после них опускаясь на октаву. Верхний звук большой секунды
издает (2/3)^2 : 1/2 = 8/9 часть струны ее нижнего звука; нужно будет сделать
шесть шагов вместо 12-ти: До - Ре - Ми - Фа# - Соль# - Ля# - Си#, после чего
шагнуть на октаву вниз, приближая Си# к начальному звуку До.

Анализ и сравнение результатов:

Длина струны нижнего Си# оказывается равной (8/9)^6*2 = 2^19/3^12 < 1,
- в то время как длина струны исходного До = 1. Вспомнив наблюдение
"(1/2)^N всей струны звучит на N октав выше чем вся струна", выразим
2^19/3^12 как (1/2)^N.
Это позволит узнать количество октав в уменьшенной секунде До-Си#.
Уравнению (1/2)^N = 2^19/3^12 придадим вид 2^(19+N) = {2^log(2)3}^12,
отсюда 19+N = 12*log2(3), и окончательно N = 12*ln(3)/ln(2) - 19 =
= 0.01955000865etc. чистой октавы (1/51.15087etc.). Если поделить
октаву на 6 равных тонов, величина интервала До-Си# выразится
проще: 0.1173000519etc. = 1/8.525145etc. темперированного тона.


Выводы:

Таким образом, "Пифагорова комма" - это около 12 центов. Наш слух
сильнейшим образом чувствует такую разницу - она для него смысловая.
В этом причина того, что в музыкальных школах дети, "руководимые" учением
об энгармонизме, испытывают большие трудности с восприятием и интонированием
двух видов тритона.