Html тег select. Возможно формировать список при нажатии ?

Аджаксом делай

С помощью JavaScript можно динамически создавать элементы <select> и добавлять их на страницу. Например, можно использовать события onclick или onchange для создания нового элемента <select>, добавления опций и вставки его в нужное место на странице.

Вот пример того, как это можно сделать:

function addSelect() {
var select = document.createElement("SELECT");
select.setAttribute("class", "my-select");

// Добавляем опции
for (var i = 0; i < 10; i++) {
var option = document.createElement("OPTION");
option.textContent = "Option " + i;
select.appendChild(option);
}

// Вставляем элемент на страницу
var container = document.getElementById("container");
container.appendChild(select);
}

// Тестируем
var button = document.querySelector("button");
button.addEventListener("click", addSelect);