Правда ли, что неадекватный или просто псих больной никогда не признает, что он таким является?

В целом, не правда. Но отчасти это может быть так. В медицине утвердилось понятие "анозогнозии" - то есть, незнание больного о своей болезни или отрицание таковой. (А - приставка отрицания, нозос - болезнь, гнозис - знание). Некоторые психически больные люди действительно не считают себя таковыми. Очень часто это бывает с больными, болезни которых относятся к так называемому малому кругу психиатрии. Неврозы, депрессии, зависимости, как правило, не осознаются как болезни, что, возможно, и хорошо, потому что, как правило, проходят без вмешательства врача сами собой. Часто не осознается астенический синдром, синдромы аффективного расстройства настроения, обсессивно-фобический, деперсонализации и дереализации, истерический или диссоциативно-конверсионный синдромы, дисморфофобия, нервная анорексия, паранойяльный и, реже, параноический синдромы. Сами по себе эти синдромы не являются психозами — человек в абсолютном большинстве случаев полностью сохраняет контроль над собой, адекватность и вменяемость, это лишь ощутимо ухудшает качество жизни.

Но что касается большой психиатрии, то тут сумасшедшие вполне осознают болезнь. Все эпилептики знают, что больны. Шизофреники тоже. Вполне осознаются как тяжелые страдания параноидные, галлюцинаторные, галлюцинаторно-параноидные и парафренные синдромы, парамнестический синдром, кататонические синдромы, синдромы помрачения сознания, эпилептические синдромы и психорганический синдром.