Можно ли инвалиду I группы работать по трудовому договору? Не повлияет ли на выплаты и пенсию?

Я разрешаю работать

Разумеется, можно. По сокращенной продолжительности рабочего дня.

разве что космонавтом

Можно, но если узнают, то скорее всего вам сменят группу, в лучшем случае до второй

Кто же Вас с первой группой возьмет на работу?

Дистанционно - без проблем. Можно и в офисе, если у вас в ИПР разрешен труд и прописаны трудовые рекомендации.

Вторая группа есть и рабочая. Меньше денег, правда. Всё нужно узнавать лично. Сможете ли? Первая не шутки. Не все станут такую ответственность на себя. А если что случиться с вами и пострадают люди, техника?