Кривая задана в полярной системе координат уравнением p=cos^2ф

В полярной системе координат положение точки задаётся углом поворота фи и и расстоянием по прямой от центра при этом угле.

Решение задачи

Построение точек

Для построения точек, лежащих на кривой, задаваемой уравнением p=cos^2ф, необходимо найти значения r для различных значений полярного угла ф.
Возьмем промежуток изменения полярного угла от 0 до 2π с шагом 0,1. Для каждого значения ф вычислим значение r по формуле p=cos^2ф.
Полученные значения r приведены в таблице:
φ | r
---|---
0 | 1
0,1 | 0,01
0,2 | 0,04
...
...
1,9 | 0,96
2 | 0,99

На основе этих значений построим точки на полярной системе координат.

Построение кривой

Соединив построенные точки, получим кривую, изображенную на рисунке.

Уравнение кривой в декартовой системе координат

Для получения уравнения кривой в декартовой системе координат воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:
x = r * cos ф
y = r * sin ф

В нашем случае r=cos^2ф, поэтому
x = cos^2ф * cos ф = cos^3ф
y = cos^2ф * sin ф = cos^2ф * sin ф

Упрощаем полученное уравнение:
x = cos^3ф
y = cos^2ф * sin ф

Это уравнение описывает эллипс с фокусами в начале координат и эксцентриситетом e=√2.
Заключение
Кривая, заданная в полярной системе координат уравнением p=cos^2ф, представляет собой эллипс с фокусами в начале координат и эксцентриситетом e=√2.
Дополнительные сведения
Эллипс - это замкнутая кривая, которая получается, если соединить концы отрезка, концы которого движутся по двум взаимно перпендикулярным прямым, а середина отрезка движется по окружности с центром в точке пересечения этих прямых.
Эксцентриситет эллипса - это отношение расстояния между фокусом и центром эллипса к его большой полуоси.
В нашем случае эксцентриситет равен √2, что означает, что расстояние между фокусом и центром эллипса равно квадратному корню из двух раз меньше его большой полуоси.
Таким образом, большая полуось эллипса равна 2√2, а малая полуось равна 2.