Могу ли я уйти после 1 четверти с 10 класса и не поступить никуда до следующего года?

Нет, это неправда. Вы можете уйти из школы после 1 четверти и не поступать никуда до следующего года. Это ваше право.
Согласно статье 10 Федерального закона "Об образовании в Российской Федерации", никто не может быть принужден к получению образования и никто не может быть ограничен в получении образования.
Если вы решите уйти из школы, вам необходимо написать заявление на имя директора школы с просьбой о досрочном прекращении обучения. В заявлении следует указать причину ухода.
После того, как директор школы подпишет заявление, вы будете освобождены от занятий.
Вы можете поступить в колледж или вечернюю школу после того, как решите, что хотите делать дальше. Но вы не обязаны поступать никуда до следующего года.
Если вы не хотите поступать в колледж или вечернюю школу, вы можете начать работать или заниматься другими делами.
Вот несколько советов, которые помогут вам принять решение:

Подумайте о том, почему вы хотите уйти из школы.
Поговорите с родителями, друзьями или другими взрослыми, которым вы доверяете.
Изучите свои варианты.
Примите взвешенное решение, которое будет лучшим для вас.

Если вы решите уйти из школы, я рекомендую вам обратиться в центр занятости населения. Там вам помогут найти работу или найти другое занятие.