Чтo такое пятый постулат Евклида и почему его пытались доказать?

Проще говоря, пятый постулат Евклида (пятая аксиома), это аксиома о том, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Или, совсем просто, что параллельные прямые не пересекаются. Иначе бы через эту точку можно было бы провести 2 разные параллельные прямые.

Набор аксиом Евклида считался минимальным набором утверждений, которые необходимы для логического построения геометрии на плоскости. Если добавить в этот набор еще какое-то утверждение, то оно было уже лишним. Его можно было доказать с помощью первых 5 аксиом. То есть это утверждение было бы не аксиомой, а теоремой.

А если из этого набора выкинуть какую-то одну аксиому, то будет ли оставшийся набор аксиом достаточным для логического построения геометрии на плоскости?

У математиков было сильное подозрение, что пятая аксиома, это на самом деле не аксиома, а теорема, то есть её можно доказать логически из первых 4 оставшихся аксиом. Но все попытки математиков доказать 5-й постулат Евклида из первых 4-х постулатов оканчивались безрезультатно.

Тогда русский математик Лобачевский придумал другой подход. Он рассуждал так. Если пятая аксиома, это теорема, которую принципиально можно доказать, то значит, если взять противоположное этому постулату высказывание и по правилам формальной логики строить из этого геометрию (невзирая на её экзотичность), то рано или поздно, в рамках такой геометрии мы получим логическое противоречие. Это противоречие и будет доказательством того, что 5-й постулат, это на самом деле теорема. Мы просто пока не знаем, как её доказать.

Лобачевский начал проверять свою идею, взяв за основу 5 постулатов, первые 4 этих постулатов были, как у Евклида, а 5-й был противоположным Евклидову (что параллельные прямые пересекаются). Он начал, как когда-то Евклид, строить новую геометрию, доказывая теоремы из этих постулатов. Эта его геометрия во многом была очень странной и необычной. Лобачевский ждал, что очень быстро в этой геометрии обнаружится логическое противоречие, но это противоречие никак не появлялось. Его геометрия была логически стройной. Никакие теоремы не противоречили друг другу.

В конце-концов ему надоело строить эту геометрию дальше, и он заявил, что больше не верит в то, что 5-й постулат, это теорема, а не аксиома.

В дальнейшем, оказалось, что геометрия Лобачевского, принципиально, не имеет противоречий, потому что такой набор аксиом соответствует геометрии не на плоскости, а на искривленной поверхности с отрицательной кривизной (где сумма углов треугольника меньше 180 градусов).