Можно ли бесплатно добавить сайту функциональность отправки письма для активации аккаунта на почту пользователя?

Смотря какая платформа, но думаю нет. Сайты работают, например с Яндекс360, а это платный сервис, зато там куча всяких функций, в том числе вроде как и эта. Если я правильно понял вопрос.

Можно. Для этого есть например модуль nodemailer на node.js. Там можно привязать отправку писем с любого почтового сервера. Я делал с того же mail.ru . На стороне сервера генерируется случайный набор символов и отправляется на указанную пользователем при регистрации почту, предварительно сохранив значение в сессии пользователя для проверки в дальнейшем.