Почему энергетические уровни в атоме дискретны?

При любом финитном движении получаем дискретные уровни энергии. Не только в атоме, но и в любой энергетической потенциальной яме. Для любой частицы, не только для электрона.
А если частица совершает инфинитное движение над энергетическими барьерами, то у неё сплошные непрерывные энергетические уровни. Например, у свободных электронов в металлах непрерывные сплошные энергетические уровни.

Это свойство решений уравнения Шредингера (и некоторых других волновых уравнений.

Связано оно с понятием стоячая волна.

Лучше сначала это понять на примере движения в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Когда движение ограниченное какими-то бесконечно высокими энергетическими стенками, то между этими стенками может уложиться только целое число полуволн. А сами волны, это обычные синусоиды. Дробное число полуволн уложиться не может. Каждая такая волна, состоящая из целого числа полуволн, имеет своё дискретное значение энергии. А так как непрерывно невозможно перейти от N полуволн к N+1 полуволн, то и по энергии тоже невозможно перейти от энергии частицы с N полуволн к энергии с N+1 полуволн.

Эти состояния с целым числом полуволн называются стационарными состояниями, то есть состояниями со строго определенным значением энергии. Эти состояния получаются при решении стационарного уравнения Шредингера для финитного движения.

Когда мы решаем стационарное уравнение Шредингера для финитного движения в потенциале атома, то в атоме всё принципиально получается то же самое, кроме одного. Там стоячие волны получаются уже не синусоидальными, а другие. В простейшем случае (для атома водорода) это стоячие сферические и радиальные волны, которые выражаются через полиномы Лагерра и присоединенные полиномы Лежандра. Это стоячие волны, у которых нет строгого периода ни вдоль радиуса, ни вокруг центра по окружности.

Но принципиально всё то же самое, как в прямоугольной яме. В таком поле атома могут существовать такие сферические волны только с определенными дискретными наборами полуволн. Т.к. пространство трехмерное, то это три набора полуволн. И каждому такому набору соответствует своё значение энергии. А промежуточных значений энергии нет, так как такие промежуточные значения энергии должны соответствовать дробному значению полуволн.