Как вычислить кубический корень из 7, 11 класс

Если ∛7 обозначить за x, то чтобы вычислить х надо решить кубическое уравнение x³=7 или, что то же самое, найти нуль функции f(x)=x³-7. Если есть кое-какие представления о численных методах нахождения корней нелинейных уравнений типа метода дихотомии или метода касательных Ньютона, то всё очень просто. Возьмём для определённости метод касательных.
1) сначала задаётся начальное приближение для х, например, x₀=2.
2) ищется корень уравнения f(x) = 0, для чего организуется следующий итерационный процесс: на каждом шаге этого процесса n-ное приближённое значение корня х находится из его предыдущего значения путём его уточнения.
Пусть x = xₙ+∆xₙ, где xₙ - n-ное приближение корня х, а ∆xₙ - абсолютная ошибка n-ного приближения, тогда в уравнении f(xₙ+∆xₙ)=0 его левая часть разлагается на f(xₙ)+f'(xₙ)·∆xₙ, а ∆xₙ определяется как -f(xₙ)/f'(xₙ), после чего уточнённым приближением будет
xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ).
3) Процесс заканчивается после достижения требуемой точности для х.
Итак, у нас f(x)=x³-7, f'(x)=3x², поэтому имеем рекуррентную формулу
xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) = xₙ - (xₙ³ - 7)/(3xₙ²), где х₀=2. Записать её можно и так:
xₙ₊₁ = (2/3)·xₙ + 7/(3xₙ²).
Первое приближение после начального:
x₁ = 2 - 1/12 = 23/12 = 1,91(6) - уже хорошее приближение, так как точное значение
∛7 = 1.912931182772...
И вот что в итоге:

В общем, сходимость к точному значению корня получается быстрая, только приближающие рациональные дроби становятся всё более и более громоздкими, так что лучше для вычислений использовать десятичные дроби, скажем, с десятью знаками после запятой, а не рациональные. И пять итераций в методе касательных хватает с лихвой! Да хотя бы даже и трёх.