Найти вычеты функций в особых точках
Найти вычеты функций в особых точках
F(z)=(z+5)/((z-i)^3(z+2))
В z=-2 функция имеет полюс первого прядка, а в z=i полюс третьего порядка. Можно вычислить вычет в z=i с помощью второй производной и предела, но проще будет использовать тот факт, что сумма всех вычетов функции с изолированными полюсами равна нулю, поэтому достаточно найти вычеты в z=-2 и в бесконечности.
Особыми точками функции F(z) являются корни знаменателя (z-i)^3(z+2), то есть точки z=i, z=2 и z=-2.
Особой точкой z=i является полюс порядка 3. Для вычисления вычета в этой точке можем использовать формулу:
Res(F(z), i) = lim(z→i) [(z-i)^3(z+2)(z+5)/(z-i)^3(z+2)]
= lim(z→i) (z+5)
= i + 5
Особой точкой z=2 является полюс порядка 1. Для вычисления вычета в этой точке можем использовать формулу:
Res(F(z), 2) = lim(z→2) [(z+5)/(z-i)^3(z+2)]
= (2+5)/(2-i)^3(2+2)
= 7/(-i)^3(4)
= -7i/8
Особой точкой z=-2 является полюс порядка 1. Для вычисления вычета в этой точке можем использовать формулу:
Res(F(z), -2) = lim(z→-2) [(z+5)/(z-i)^3(z+2)]
= (-2+5)/(-2-i)^3(-2+2)
= 3/(-4-i)^3(0)
= 3[(-4+i)^3]/0
= Бесконечность (не определено)