Помогите пожалуйста с математикой. Линейная алгебра

Question

Помогите пожалуйста с математикой. Линейная алгебра

Егор Астровский Ученик (68), закрыт 6 месяцев назад

Answer 1

№2.

1) AB=(-3-1, 6-5, 3-(-7))=(-4, 1, 10),
АС=(-2-1, 7-5, 3-(-7))=(-3, 2, 10).
AB•AC=(-4)×(-3)+1×2+10×10=114.

2) AB×AC=
| i j k |
| -4 1 10 |=i×(-10)-j×(-10)+k×(-5)=
| -3 2 10 |
=(-10, 10, -5).

3) |AB|=√((-4)²+1²+10²)=√117,
|AC|=√((-3)²+2²+10²)=√113,
cosα=AB•AC/(|AB|×|AC|)=
=114/(√117×√113)≈0,9915.

4) CD=(-4-(-2), 8-7, -12-3)=(-2, 1, -15),
a=(3×(-4)-2×(-2), 3×1-2×1, 3×10-2×(-15))=
=(-8, 1, 0).

5) BC=(-2-(-3), 7-6, 3-3)=(1, 1, 0),
|a|=√((-8)²+1²+0²)=√65,
прₐBC=(a•BC)/|a|=
=((-8)×1+1×1+0×0)/√65=7√65/65.

6) S(ΔABC)=½|AB×AC|=
=½√((-10)²+10²+(-5)²)=15/2=7,5.

7) D=-(Ax+By+Cz)=
=-((-10)×1+10×5+(-5)×(-7))=-75,
Δ=|Ax+By+Cz+D|/√(A²+B²+C²)=
=|(-10)×(-4)+10×8+(-5)×(-12)+(-75)|/15=7.

===

№3.

1) AB=(-4, 1, 10), A(1; 5; -7),
(x-1)/(-4)=(y-5)/1=(z+7)/10,
{x=-4t+1, y=t+5, z=10t-7.

2) DC=-CD=(2, -1, 15),
(x-1)/2=(y-5)/(-1)=(x+7)/15.

3) -10x+10y-5z-75=0, см. №2.7 (вектор AB×AC и есть нормаль плоскости ABC).

4) (x+4)/(-10)=(y-8)/10=(z+12)/(-5).

5) AD=(-4-1, 8-5, -12-(-7))=(-5, 3, -5),
найдём угол между AD и AB×AC:
AD•(AB×AC)=(-5)×(-10)+3×10+(-5)×(-5)=105,
|AD|=√((-5)²+3²+(-5)²)=√59,
cosβ=AD•(AB×AC)/(|AD|×|AB×AC|)=
=105/(√59×15)=7/√59,
а искомый угол даёт в сумме с рассматриваемым 90°. Напомним, что для I четверти
cos(90°-α)=sinα=√(1-cos²α),
cosβ*=√(1-(7/√59)²)=√(59/59-49/59)=
=√10/√59=√10√59/59=√590/59≈0,4117,
β*≈65,69°.

Дерзайте знать! ;)

Answer 2

Хорошо, я постараюсь помочь вам с математикой. Вот решения для задач из изображения:

**Задача 2:**

1. Скалярное произведение векторов АВ и АС:

```
AB = (-3 - 1, 6 - 5, 3 - 7) = (-4, 1, -4)
AC = (-2 - 1, 7 - 5, 3 - 7) = (-3, 2, -4)
```

```
AB * AC = (-4) * (-3) + (1) * (2) + (-4) * (-4) = 33
```

Ответ: 33

2. Векторное произведение векторов АВ и АС:

```
AB * AC = (-4) * (2) - (1) * (-4) * (-3) = 8
```

Ответ: 8

3. Косинус угла между векторами АВ и АС:

```
cos α = AB * AC / |AB| * |AC|
```

```
cos α = 33 / √((-4)^2 + (1)^2 + (-4)^2) * √((-3)^2 + (2)^2 + (-4)^2)
```

```
cos α = 33 / √77 * √25
```

```
cos α = 33 / 245
```

```
α = arccos(33 / 245)
```

Ответ: α ≈ 33,48°

4. a = 3 AB-2CD

```
a = 3 * (-4, 1, -4) - 2 * (-3, 2, -4)
```

```
a = (-12, 3, -12)
```

Ответ: a = (-12, 3, -12)

5. Алгебраическая проекция вектора ВС на вектор а:

```
(a * ВС) / |a|^2 * a
```

```
(-12 * (-3) + 3 * 2 + (-12) * (-4)) / (-12)^2 * (-4, 1, -4)
```

```
(36 + 6 + 48) / 144 * (-4, 1, -4)
```

```
(90) / 144 * (-4, 1, -4)
```

```
(-5/4, 1/4, -5/4)
```

Ответ: (-5/4, 1/4, -5/4)

6. Площадь грани АВС:

```
1/2 * |АВ * AC|
```

```
1/2 * |(-4, 1, -4) * (-3, 2, -4)|
```

```
1/2 * |8|
```

```
1/2 * 8
```

Ответ: 4

7. Длина высоты пирамиды, опущенной из вершины D:

```
√(AD^2 - (AC/2)^2)
```

```
√((-4 - (-1))^2 - ((-4)/2)^2)
```

```
√(-3^2 - (-2)^2)
```

```
√13
```

Ответ: √13

**Задача 3:**

1. Канонические уравнения прямой АВ:

```
x = -3 + 4t
y = 6 - t
z = 3 + 4t
```

Параметрические уравнения прямой АВ:

```
x = -3
y = 6 - t
z = 3 + 4t
t = 0, 1, 2, ...
```

2. Уравнение прямой, проходящей через точку (4, 8, -12) параллельно прямой DC:

```
y - 8 = -3 / 2 * (x - 4)
z + 12 = -4 / 2 * (x - 4)