Функция y = f(x) - это кусочно-линейная функция, которая определена следующим образом:
* y = f(x) = -x, x < 0
* y = f(x) = 2x - x², 0 ≤ x < 2
* y = f(x) = 2 (4 - x), x ≥ 2
Чтобы исследовать функцию на непрерывность, нам нужно найти точки разрыва функции и определить их тип. Точки разрыва функции - это точки, в которых функция не определена или ее значение не определено.
В данном случае функция имеет три точки разрыва:
* x = 0
* x = 2
Определим тип каждой точки разрыва следующим образом:
* x = 0: функция f(x) непрерывна в этой точке, потому что она имеет один и тот же предел справа и слева от точки разрыва.
* x = 2: функция f(x) имеет разрыв первого рода в этой точке, потому что ее предел справа от точки разрыва равен 4, а предел слева от точки разрыва равен 0.
Чтобы вычислить предел функции f(x) в точке x = 0, мы можем использовать следующие методы:
* Метод прямой подстановки:
```
lim f(x) = lim (-x) = -0 = 0
```
* Метод односторонних пределов:
```
lim f(x) = lim (-x) = 0
lim f(x) = lim (2x - x²) = 0
```
Таким образом, lim f(x) = 0.
Чтобы вычислить предел функции f(x) в точке x = 2, мы можем использовать следующие методы:
* Метод прямой подстановки:
```
lim f(x) = lim (2(4 - x)) = 4 - 2 = 2
```
* Метод односторонних пределов:
```
lim f(x) = lim (2x - x²) = 4
lim f(x) = lim (2 (4 - x)) = 4
```
Таким образом, lim f(x) = 4.
График функции показан на рисунке.
https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/kvadratichnaia-funktciia-y-ax-funktciia-y-k-x-11012/kak-postroit-grafik-funktcii-u-f-x-m-12266/re-e5a6fe67-312f-4fa5-a569-6158c18a558a Как видно из графика, функция f(x) является убывающей на интервале x < 0, возрастающей на интервале 0 ≤ x < 2 и убывающей на интервале x ≥ 2.
Вот несколько дополнительных наблюдений о функции f(x):
* Функция f(x) имеет вертикальную асимптоту x = 0.
* Функция f(x) имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
* Функция f(x) имеет точку максимума в точке x = 1.