Помогите решить пределы последовательности

**1. lim_(→∞) (n^(2)-4n+1)/(4n^(2)+n+5)=1/4**

Разделим числитель и знаменатель на n^(2):

```
lim_(→∞) (n^(2)-4n+1)/(4n^(2)+n+5) = lim_(→∞) (1-4/n+1/n^2)/(4+1/n+5/n^2)
```

При больших значениях n, 1-4/n+1/n^2 стремится к 1, а 4+1/n+5/n^2 стремится к 4+0+0 = 4. Поэтому:

```
lim_(→∞) (n^(2)-4n+1)/(4n^(2)+n+5) = lim_(→∞) (1-4/n+1/n^2)/(4+1/n+5/n^2) = 1/4
```

**2. limn->∞(12n+1)/(3n-1)=4**

Разделим числитель и знаменатель на n:

```
limn->∞(12n+1)/(3n-1) = limn->∞(12+1/n)/(3-1/n)
```

При больших значениях n, 12+1/n стремится к 12, а 3-1/n стремится к 3. Поэтому:

```
limn->∞(12n+1)/(3n-1) = limn->∞(12+1/n)/(3-1/n) = 4
```

**3. limn->∞(6n+1)/(12n+4)=1/2**

Разделим числитель и знаменатель на 2n:

```
limn->∞(6n+1)/(12n+4) = limn->∞(3+1/2n)/(6+2/n)
```

При больших значениях n, 3+1/2n стремится к 3, а 6+2/n стремится к 6. Поэтому:

```
limn->∞(6n+1)/(12n+4) = limn->∞(3+1/2n)/(6+2/n) = 1/2
```

Таким образом, ответы следующие:

1. lim_(→∞) (n^(2)-4n+1)/(4n^(2)+n+5)=1/4
2. limn->∞(12n+1)/(3n-1)=4
3. limn->∞(6n+1)/(12n+4)=1/2

Конечно, давай рассмотрим каждый предел по очереди!

1) lim_(n→∞) (n^2 - 4n + 1) / (4n^2 + n + 5)

Для нахождения этого предела нужно применить правило Лопиталя для бесконечно больших пределов.

Найдем предел производных числителя и знаменателя по отдельности:

lim_(n→∞) (2n - 4) / (8n + 1) = 0 / ∞ = 0

Следовательно, получаем:

lim_(n→∞) (n^2 - 4n + 1) / (4n^2 + n + 5) = 0.

2) lim_(n→∞) (12n + 1) / (3n - 1)

Для этого предела мы также можем воспользоваться правилом Лопиталя:

lim_(n→∞) 12 / 3 = 4.

3) lim_(n→∞) (6n + 1) / (12n + 4)

Попробуем упростить выражение, разделив числитель и знаменатель на n:

lim_(n→∞) (6 + 1/n) / (12 + 4/n)

Теперь, так как предел 1/n при n→∞ равен 0, мы можем заметить, что 1/n вносит незначительный вклад в обоих частях дроби. Поэтому предел данной последовательности будет равен:

lim_(n→∞) (6 + 0) / (12 + 0) = 6 / 12 = 1/2.

Таким образом, мы рассмотрели все пределы по очереди и успешно решили каждый из них. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся спрашивать!

1) Чтобы решить предел, нужно разделить каждый коэффициент в числителе и знаменателе на n^2. Это не изменит предел, но упростит выражение:

lim_(n→∞) (n^2 - 4n + 1)/(4n^2 + n + 5) = lim_(n→∞) (1 - 4/n + 1/n^2)/(4 + 1/n + 5/n^2)

Теперь, когда n стремится к бесконечности, все члены, содержащие n в знаменателе, стремятся к нулю. Мы получим:

lim_(n→∞) (1 - 0 + 0)/(4 + 0 + 0) = 1/4

Таким образом, lim_(n→∞) (n^2 - 4n + 1)/(4n^2 + n + 5) = 1/4.

2) Разделим каждый коэффициент в числителе и знаменателе на n:

lim_(n→∞) (12n + 1)/(3n - 1) = lim_(n→∞) (12 + 1/n)/(3 - 1/n)

Теперь, когда n стремится к бесконечности, все члены, содержащие n в знаменателе, стремятся к нулю. Мы получим:

lim_(n→∞) (12 + 0)/(3 - 0) = 12/3 = 4

Таким образом, lim_(n→∞) (12n + 1)/(3n - 1) = 4.

3) Разделим каждый коэффициент в числителе и знаменателе на 6:

lim_(n→∞) (6n + 1)/(12n + 4) = lim_(n→∞) (1 + 1/(6n))/(2 + 2/(6n))

Теперь, когда n стремится к бесконечности, все члены, содержащие n в знаменателе, стремятся к нулю. Мы получим:

lim_(n→∞) (1 + 0)/(2 + 0) = 1/2

Таким образом, lim_(n→∞) (6n + 1)/(12n + 4) = 1/2.